复习篇 第4讲 圆锥曲线专题1：最值问题 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第4讲 圆锥曲线专题1：最值问题 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径. ② 圆上点到圆外直线的距离 圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离； ③三点共线模型 一动点到两定点的距离分别为， 当共线，且点在之间时，取到最小值； 当共线，且点在同侧时，取到最大值； 其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ④ 将军饮马模型 点在直线同侧，点在直线上，那； ⑤垂线段最值模型 点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为． (1) 点是外， (2) 点是内， 2最值问题常见处理方法 ① 几何法 通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型. ② 代数法 理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值. 【题型1】 线段最值 【典题1】 求点到椭圆上的点之间的最短距离． 解析 方法一 设椭圆上的点，其中， 则 设，其对称轴为， ① 当，即时，在上递增， 则，即的最小值为； ②当，即时，在上先递减再递增， 则，即的最小值为； ③ 当，即时，在上递减， 则，即的最小值为； 综上，当时，最小为；时，最小为； 时，最小为． 方法二 设椭圆上的点Psinθ)(为参数)， 则 令 则|PA| 当，即有时，为减区间，则取最小，且为 ； 当即时，则，取得最小值，且为； 当，即有时，为增区间，则取最小，且为 ． 综上，当时，最小为|；时，最小为； 时，最小为． 【巩固练习】 1. (★★)已知双曲线的方程为如图，点的坐标为是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值． 答案 解析 设点的坐标为0)，则点是双曲线的焦点， 由双曲线的定义，得． ， 又是圆上的点，圆的圆心为 半径为，故，从而， 当点在线段上时取等号，即的最小值为． 2. (★★★)已知椭圆：的左右焦点分别为F2，左顶点为离心率为点是椭圆上的动点的面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点线段的中垂线为．若直线与直线相交于点与直线相交于点求的最小值． 答案 (1) ；(2) . 解析 (1)由已知，椭圆：的离心率为 则即． ． 设点的纵坐标为． 则 即． ． 椭圆的方程为． (2)由题意知直线的斜率不为，故设直线的方程为， 设． 联立消去，得． 此时． ． 由弦长公式，得． 整理，得． 又． ． ， 当且仅当即时等号成立． 当，即直线的斜率为时取得最小值． 【题型2】 面积最值 【典题1】 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”．过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点(在同一象限内)，称点为点的“伴随点“．已知椭圆：1上的点()的“伴随点”为(． (1)求椭圆及其“伴随圆”的方程； (2)求面积的最大值，并求此时“伴随点”的坐标； (3)已知直线：与椭圆交于不同的两点，若椭圆上存在点使得四边形是平行四边形．求直线与坐标轴围成的三角形面积最小时的的值． 解析 (1)椭圆：1的伴随圆方程为：， 解得： 椭圆的方程为：1，伴随圆的方程为． (2)设的横坐标为， 则的纵坐标绝对值为的纵坐标绝对值为 )， ， 当时，取得最大值此时伴随点坐标为． (3)由题意可设． 联立整理得， 则， ． ， 四边形为平行四边形， ． ， ， 因为点在椭圆上， 所以，整理得： 在直线中，由于直线与坐标轴围成三角形，则． 令，得令，得． 所以三角形面积为， 当且仅当时取等号，此时． 直线与坐标轴围成的三角形面积最小时的． 【巩固练习】 1. (★★★)已知椭圆1右焦点离心率为过作两条互相垂直的弦设中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围. 答案 (1) ；(2) . 解析 (1)由题意： ， 则椭圆的方程为； (2)①当两直线一条斜率不存在一条斜率为时， ②当两直线斜率存在且都不为时， 设直线方程为，设， 将其带入椭圆方程整理得：， ， ， 同理 则 ， 当时， 综上所述四边形面积范围是． 2. (★★★)已知抛物线：的焦点为过点的直线交抛物线于两点． (1)若求直线的方程； (2)求面积的最小值． 答案 (1) 或 ；(2) . 解析 (1)根据题意，不妨设点在轴上方， ①当直线的斜