预习篇 第17讲 空间直线、平面的垂直 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第17讲 空间直线、平面的垂直 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 线面垂直 (1)定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2)判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表述: (线线垂直线面垂直) (3)性质定理 垂直同一平面的两直线平行 符号表述：. 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【题型1】 线面垂直的判定 【知识点解读】 1 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 2 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表述: (线线垂直线面垂直) 解释 (1) 定理中两条直线必须是相交的； 判断 ① 如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ② 如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，那么该直线与此平面垂直 (2) 简证：(由向量的基本定理和线面垂直的定义可证) 设直线对应的向量是，则， 由于直线相交，若平面内任意直线所对的向量， 则，则， 即直线与平面内任意直线垂直，即. (3) 该定理说明线面垂直可转化为线线垂直. 【典题1】 如图，在三棱锥中，，为的中点. 求证: 平面. 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知空间四边形中，．求证：平面 2. (★★)如图，在正方体中，为的中点，交于点，求证：平面． 【题型2】 线面垂直的性质 【知识点解读】 性质定理 垂直同一平面的两直线平行 符号表述：. 证明 假设与不平行，且，显然点不在直线上， 与直线可确定一个平面， 在该平面内过点作直线， 则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面， 设，则. 因为，所以. 又因为，所以. 这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线与垂直，显然不可能. 因此. (证明使用了反证法) 【典题1】 如图，已知平面，则等于(　　) A． B． C． D． 【典题2】如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形， 上的中点． (1)求证：平面；(2)求证：平面． 【巩固练习】 1. (★)如图，在三棱锥中，平面的中点，则下列结论不正确的有(　　) A．平面 B． C．平面 D．平面 2. (★★)在长方体中，为棱的中点，则(　　) A． B． C． D． 3. (★★)如图，已知平行四边形中，平面，且，则　 　． 4. (★★★)如图，在三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，侧棱底面的中点，点在线段上，当　 　时，平面． 5. (★★)如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面的中点． (Ⅰ)求证平面；(Ⅱ)证明． 6. (★★★)如图，在长方体中，底面是正方形，的中点． (1)求证：；(2)若平面，求的值． 【题型3】 面面垂直的判定 【知识点解读】 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为，的二面角记作二面角. 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 2 面面垂直的定义 若二面角的平面角为，则； 3面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) 略证 ，在平面取直线，使得， 因为，所以，则是二面角， 因为，所以，即，所以. 【典题1】 如图，在四面体中，，则四面体中存在面面垂直关系的对数为(　　) A． B． C． D． 【典题2】在四棱锥中，平面 的中点，为线段上一点，且． (Ⅰ)证明平面；(Ⅱ)证明:平面平面． 【巩固练习】 1. (★)如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是(　　) A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2. (★)如图，在四面体中，若的中点，则下列正确的是(　　) A．平面平面，且平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面，且平面平面 3. (★★)如图，在四形边中，．将折起，使平面，构成三棱锥．则在三棱锥中，下列结论正确的是(　　) A．平面