预习篇 第14讲 简单几何体的表面积与体积 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第14讲 简单几何体的表面积与体积 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 棱柱 棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和；体积： (其中是棱柱的高) 2 棱锥 棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和；棱锥体积：(其中为棱柱的高) 3 棱台 棱台的表面积就是围成各个面的面积的和； 棱台体积 ，其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 4 圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： (3) 体积： (其中为底圆的半径，为圆柱的高) 5 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) (3) 圆锥体积： (其中为底圆的半径，为圆锥的高) 6 圆台 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  圆台体积，分别是上、下底面半径，是高) 7 球体 面积，体积(其中为球的半径) 【题型1】棱柱、棱锥、棱台的表面积 【知识点解读】 1 棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和； 2 棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和； 3 棱台的表面积就是围成各个面的面积的和. 【典题1】正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)棱长均为的正四面体的表面积是(　　) A． B． C． D． 2. (★★) “斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 (　　) A． B． C． D． 3. (★★)已知正四棱柱为上底面中心．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则　 ． 4. (★★★)刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是 . 【题型2】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点解读】 1 棱柱 体积： (其中是棱柱的高) 2 棱锥 棱锥体积：(其中为棱柱的高) 3 棱台 棱台体积 ，其中分别为上，下底面面积，为棱台的高. 解释 棱台的体积可以视为两个棱锥体积的差，简证如下 如下图，设分别为上底四边形面积，下底面四边形面积，为高. 由相似易得，，， 则，， 所以. 当时，棱台变成棱锥，体积公式就变成棱锥的体积公式. 【典题1】 在直三棱柱中，平面是下底面．上的点，，过三点作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为(　　) A． B． C． D． 【典题2】正四棱台的上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为(　　) A. B. C. D. 【巩固练习】 1. (★)已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为(　　) A． B． C． D． 2. (★)如图，长方体的体积是，点在棱上，且，则三棱锥的体积是(　　) A． B． C． D． 3. (★★)（多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为，则关于上下两几何体的说法正确的是(　　) A. 侧面积之比为 B. 侧面积之比为 C. 体积之比为 D. 体积之比为 4. (★★)正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为 　　． 5. (★★★)如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为　　． 【题型3】 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【知识点解读】 1 圆柱 (1) 侧面积： (2) 全面积： 解释 圆柱的侧面展开图是一个长方形. 2 圆锥 (1) 圆锥侧面积： (2) 圆锥全面积： (其中为底圆的半径，为圆锥母线) 解释 圆锥侧面的展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底圆周长. 3 圆台 圆台表面积 其中是上底面圆的半径，是下底面圆的半径，是母线的长度.  解释 圆台侧面的展开图是圆环的一部分；圆台的高. 【典题1】 如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为　　． 【典题2】 圆台的上、下底面半径分别是，它的侧面展开图的扇环的圆心角是，那么圆台的表面积是多少？[来源:Zx 【巩固练习】 1. (★)以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为(　　) A.