预习篇 第10讲 平面向量的基本定理和平面向量的坐标运算 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第10讲 平面向量的基本定理和平面向量的坐标运算 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 2正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量可表示为， 称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，可看成以原点为起点，点为终点的向量. 3 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 (5) 为与的夹角，则 ① 数量积； ② 夹角余弦值. 4 平面向量的位置关系 （1）平行向量 若，其中，则. （2）平面向量垂直 若 ，则. 【题型1】平面向量的基本定理 【知识点解读】 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 解释 (1) 基底，要求 ， 是不共线向量； (2) 唯一性：若不共线，且则 (3) 平面内任一向量均可由同一个基底唯一表示，这对研究问题带来极大的便利. 【典题1】如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 解析 是平面内一组不共线的向量，作为基底的向量，前提为不共线向量， 所以对于选项都为不共线向量，选项 与为共线向量． 故选 ． 【典题2】 如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为(　　) A．－3 B． C． D． 解析 ， ，，即， 又，则， ∴，，， 则 ， 故选：C． 【巩固练习】 1. (★)若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（　　） A. 不可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. 若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 答案 D 解析 对于，因为，是平面内两个不共线的向量，所以，可以作为平面中所有向量的一组基底，故错误； 对于，由平面向量基本定理可知，错误； 对于，当时，这样的有无数个，故错误； 故选：． 2. (★★)在平行四边形中，交于点是线段的中点，的延长线与交于点F，若，则等于(　　) A． B． C． D． 答案 B 解析 易知， 又中点，， ． 3. (★★)在平行四边形中，分别是边的中点，若，其中，则的值为 ． 答案 解析 如图所示，设 则， ， ，， ． ，解得， ． 4. (★★★)在中，，分别为边，的中点，与交于点，设，，则 （用，表示）.　 答案 解析 由中，分别为边的中点， ，． 三点共线，设， 三点共线，设， ，解得， ， ． 5. (★★★)如图，在长方形中，，分别为线段，的中点，若，则 . 答案 解析 在长方形中，向量不共线，，分别为线段，的中点， 则有，， ， 因， 则有， 于是得，解得，，所以. 【题型2】 平面向量的坐标运算 【知识点解读】 1正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量可表示为， 称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，可看成以原点为起点，点为终点的向量. 2 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 3 平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值. 证明 （1）因为，， 所以 又，，， 所以； （2）因为，所以. 【典题1】 已知向量，若，则 . 解析 ， ， ， ， ，解得或(舍)， ， . 【典题2】已知，且的夹角为，则________． 解析 ． 又， 而的夹角为， ，即， 化简整理，得，解得． 【巩固练习】 1. (★)设向量，，则( ) A． B． C． D． 答案 解析 ，， 则． 故选：． 2. (★)已知向量，，则　( )