复习篇 第3讲 函数的奇偶性和单调性 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第3讲 函数的奇偶性和单调性 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增.特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减.特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 5 函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 6 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 【题型1】 函数单调性和奇偶性的判断 【典题1】 下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是(　　) B． 【巩固练习】 1. (★★)下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是(　　) ． ． 2. (★★)下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的函数为(　　) A． B． C． D． 3. (★★★)已知是上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在上单调递增的有(　　) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【题型2】 函数单调性和奇偶性的性质 【典题1】 已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递增则(　　) ． ． 【典题2】设函数，则使得成立的的取值范围为(　　) ． 【巩固练习】 1. (★★)如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　) 减函数且最大值为 增函数且最大值为6 减函数且最小值为 增函数且最小值为6 2. (★★)若偶函数在上是减函数，则(　　) ． ． ． ． 3. (★★★)函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则( ) A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 4. (★★★)已知函数为上的奇函数且单调递增，若，则的值范围是(　　) 5. (★★★)函数是上的增函数且则(　　) 6. (★★)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则　( ) A． B． C． D． 7. (★★★)已知函数，设，则(　　) 8. (★★★)已知函数(且)在上单调递减，则的取值范围是(　　) 9. (★★★)已知函数，若，则实数的取值范围　 ． 【题型3】函数图像的判断 【典题1】 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★) 已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x(ex+e﹣x) B．f(x)＝ln(ex+e﹣x) C．f(x)1 D．f(x)＝ln|x|+1 2. (★★)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x2|x| B．f(x)＝xln|x|| C．f(x)