复习篇 第2讲 基本不等式 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第2讲 基本不等式 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 【题型1】 直接利用基本不等式 【典题1】 下列命题正确的是(　　) A．函数的最小值为 B．若且，则 C．函数的最小值为 D．函数的最小值为 【巩固练习】 1. (★★)下列不等式正确的是(　　) 2. (★★)设函数 则 ( ) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 3. (★★★)设，下列不等式中等号能成立的有(　　) ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. (★★★)设，则三个数、、　　) ．都大于 至少有一个大于 至少有一个不小于 至少有一个不大于 5. (★★★)已知都是正实数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 【题型2】 配凑法 【典题1】 若，则函数的最小值为(　　) 【典题2】已知为正实数，则的最小值为(　　) 【巩固练习】 1. (★★)设，则函数的最大值为 . 2. (★★)当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________． 3. (★★★)已知为正数，，则的最大值为_____． 4. (★★★)若，则2x的最小值是　 　． 【题型3】 巧“1”法 【典题1】 已知，，则的最小值为__________． 【巩固练习】 1. (★★)设，，若，则的最小值为 2. (★★)已知正数满足，则的最小值是 3. (★★★)已知正实数，满足，则的最小值为 4. (★★★)已知为正实数，且，则的最小值为 . 【题型4】 换元法 【典题1】 已知，则函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 【典题2】 已知实数满足，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★)函数的最小值是(　　) A．3 B．4 C． D．6 2. (★★)若，则的最大值为(　　) ． ． ． 3. (★★★)若，且，则的最小值为__________． 4. (★★★)设是正实数，且，则的最小值是　 　． 【题型5】 消元法 【典题1】 若，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★)若为正数，1，则的最小值为(　　) 2. (★★)已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 3. (★★★)已知正数，满足，则的最大值为　 ． 【题型6】 综合练习 【典题1】 (多选)若满足，则( ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★★★) (多选)若均为正数，且，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 2. (★★★) (多选)设，，且，则下列结论正确的是(　　) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．恒成立 3. (★★★)若实数，，满足，以下选项中正确的有(　　) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 1. (★★)设，，若，则的最小值为(　　) 2. (★★)已知，则函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 3. (★★★)若正数满足，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)（多选）已知，设，，以下四个命题中正确的有( ) A．若，则有最小值 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则有最小值 5. (★★)若实数满足，则的最小值为 6. (★★★)已知均为正数，