第20讲 二次函数与圆 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之二次函数篇 第20讲 二次函数与圆 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 3 圆周角定理及其推论 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； (3)圆内接四边形的对角互补. 4 直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 位置关系 相离 相切 相交 图形 交点 个 个 个 数量关系 5 切线的性质 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 6切线的判定 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 7 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 【题型1】 基本性质考核 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴相交于另一点M，与y轴相交于另一点G，连接AE． (1)求证：AE平分∠BAC． (2)若点A、D的坐标分别为A(0，﹣1)，D(2，0)，求⊙F的半径． (3)在(2)的条件下，求经过M，F，D三点的抛物线对应的函数解析式． 解析 (1)证明：连接EF， ∵⊙F与边BC相切于点E，∴∠FEC＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠FEC＝180°， ∴AC∥FE，∴∠EAC＝∠FEA， ∵FE＝FA，∴∠FAE＝∠FEA， ∴∠FAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC； (2)解：连接FD， 设⊙F的半径为r， ∵A(0，﹣1)，D(2，0)，∴OA＝1，OD＝2， 在Rt△FOD中，FD2＝(AF﹣AO)2+OD2， ∴r2＝(r﹣1)2+22，解得：r＝， ∴⊙F的半径为； (3)解：∵OA＝1，，∴F(0，)， ∵直径AG垂直平分弦MD，点D(2，0)和点M关于y轴对称轴， ∴M(﹣2，0)， 设抛物线解析式为y＝a(x+2)(x﹣2)， 将点F(0，)代入，得：﹣4a＝，解得：a＝， 则抛物线解析式为． 【巩固练习】 1.如图，在平面直角坐标系中，以点P(1，﹣1)为圆心，2为半径作圆，交x轴A、B两点，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)过点A、B，且顶点C在⊙P上．则抛物线的解析式是 。 答案 y＝x2﹣2x﹣2 解析 作PE⊥AB于E，连接PA， ∴PA＝2，PE＝1，∴AE＝， ∵E点坐标为(1，0)， ∴A点坐标为(1﹣，0)，B点坐标为(1+，0)， ∴设抛物线的解析式为， ∴顶点C的坐标为(1，﹣3a)， ∵⊙P的圆心P的坐标为(1，﹣1)，半径为2， ∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1， ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣2. 2.如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法： ①点C在⊙I上； ②IQ⊥PD； ③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π； ④线段BQ的长可以是3.2． 其中正确说法的是 。 答案 ②③ 解析 抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，C， ∴A(﹣1，0)，B(3，0)，， ∴点I(1，0)，⊙I的半径为2， ∵， ∴顶点D的坐标为：(1，﹣2)，∴ID＝2， ∴点D在⊙I上． ①，故点C不在⊙I上，故①不正确； ②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在⊙I上，点Q为PD的中点． ∴IQ⊥PD，故②正确； ③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置， 则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形， 当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQ⊥PD，连接QR， 则QR＝ID＝IR＝RD＝RG＝RF＝GF＝1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆， 则Q运动的路径长＝×2πr＝π，故③正确； ④由③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，最大值为， ∴线段BQ的长不可以是3.2，故④不正确． 故正确说法有：②③． 3.在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A(2，0)，交y轴于点． (1)求圆心C的坐标． (2)抛物线y＝ax2+b