第19讲 二次函数与平行四边形 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之二次函数篇 第19讲 二次函数与平行四边形 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 平行四边形的性质 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等； （3）两组对角分别相等；（4）对角线互相平分。 2 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 4 菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 5矩形的性质 （1）矩形的四个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 6 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 7正方形的性质 正方形是最特殊的平行四边形，其性质具有菱形和矩形的性质. 四条边相等，四个内角是直角，对角线相等且互相垂直. 8 正方形的判定 正方形的判定思路：具有矩形性质的菱形或具有菱形的矩形. （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形. 【题型1】 二次函数与一般平行四边形 【典题1】如图，直线AB与抛物线交于A(﹣4，0)、B(2，6)两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB． (1)求抛物线的解析式； (2)若OD将△AOB分成面积相等的两部分，求点D的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★★)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使，连接OA，OB，BD和AD．若点A的坐标是(﹣4，4)． (1)求b，c的值； (2)试判断四边形AOBD的形状，并说明理由． 2. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连结PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值； 3. (★★★★)如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣5上，设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)． (1)求点A、B、D的坐标； (2)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2】 二次函数与菱形 【典题1】 如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)，交y轴于C(0，3)． (1)求抛物线的表达式； (2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，当四边形OBPC的面积S最大时，求出面积的最大值及P点的坐标； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标． 【巩固练习】 1. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B，C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 　 　； (3)当▱CPBD是菱形时，求m的值． 2. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3. (★★★★)综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点(