第10讲 圆 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第一部分 基础篇之几何篇 第10讲 圆 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 垂径定理及其推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)推论 ① 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 2 圆心角、弧、弦的关系 (1)定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. (2)推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3 圆周角定理及其推论 (1)定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)推论 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； ② 直径所对的圆周角是直角； ③ 圆内接四边形的对角互补. 4 切线的性质 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 5 切线的判定 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 6 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 7正多边形的有关概念 如上图，是中心，边长，是中心角，是边心距. 对于正边形，中心角，边心距. 8 弧长和扇形面积 (1)半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. (2)半径为的圆中，圆心角为的扇形面积. (3)圆锥与侧面展开图 ① 圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 ② . 【题型1】 圆有关的基本性质 【典题1】如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为BC上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝R；③若AC⊥BD，CF＝CD，，则BF+CE＝1．其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析 ∵AC＝BD，，即， ， ∴∠ABD＝∠BAC， ∴AE＝BE，所以①正确； 连接OA、OD，如图， ∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°， ∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝90°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴AD＝OA＝R，所以②正确； AF与BD相交于G点，如图， ∵△ABE为等腰直角三角形， ， ，∴∠FAC＝∠DAC， ∵AC⊥DG，∴GE＝DE，即AE垂直平分DG， ∴AG＝AD， ∴∠AGD＝∠ADG， ∵∠BGF＝∠AGD，∠AFB＝∠ADB， ∴∠BGF＝∠BFG， ∴AF＝BG， 在△BCF和△AGE中， ∴△BCF≌△AGE(AAS)， ∴CE＝GE， ∴BF+CE＝BG+GE＝BE＝1，所以③正确． 故选：D． 【典题2】 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．已知AB＝8，CD＝2．则CE的长为(　　) A．8 B． C． D． 解析 ∵在⊙O中，OD⊥弦AB，∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝8，∴AC＝BC＝4， 设OA为x，则OD＝OA＝x， ∵CD＝2，∴OC＝x﹣2 在Rt△ACO中，AC2+OC2＝AO2 ∴42+(x﹣2)2＝x2，解得x＝5，∴OA＝5； 连接BE， ∵OA＝OE，AC＝BC，∴OC∥BE且OC＝BE， ∴∠EBA＝∠OCA＝90°， ∵OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3， ∴BE＝6， 在Rt△ECB中，BC2+EB2＝EC2，∴42+62＝EC2， ． 故选：B． 【巩固练习】 1. (★)如图，AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，连接AC、OC、BD，若BD∥OC，且∠ABD＝60°，则∠OCA的度数为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 答案 A 解析 ∵OC∥BD，∴∠B＝∠BOC， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∵∠OAC＝∠BOC，∴∠OCA＝∠BOC＝∠ABD， ∵∠ABD＝60°， ∴∠OCA＝30°． 故选：A． 2. (★★)如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是(　　) A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90° 答案 D 解析 过O作OD⊥AB于D交⊙O于E， 则， ∴AE＝BE，， ∵∠AOB＝2∠BOC， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC， ， ∴AE＝BE＝BC， ∴2BC＞AB，故C错误； ∵OA