第7讲 全等三角形 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第一部分 基础篇之几何篇 第7讲 全等三角形 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等(简称“边边边”或“”)； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等(简称“边角边”或“”)； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等(简称“边角边”或“”)； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等(简称“角角边”或“”)； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边直角边”或“”). 3角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 4 垂直平分线 (1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 5 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). 6等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 7 等边三角形 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. (3)判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【题型1】 全等三角形的性质和判定 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点P(10，10)处，转动直角三角形，若两条直角边分别与x轴正半轴交于点A，y轴正半轴交于点B，则OA+OB的值为(　　) A．16 B．20 C．10 D．无法确定 【巩固练习】 1. (★★)如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是(　　) A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90° 2. (★★)如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB交EF于点D．AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，∠EAB＝∠CAF，∠EAF＝80°，则∠FAC＝(　　) A．40° B．60° C．50° D．70° 3. (★★★)如图，在等腰三角形OAB与等腰三角形OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点P，则∠BPC的度数为 　 　°． 4. (★★★)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(﹣2，0)，点A的坐标为(﹣6，3)，则B点的坐标是　 　． 【题型2】 角平分线和垂直平分线 【典题1】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF． (1)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数； (2)若BC＝5，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离． 【巩固练习】 1. (★)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为(　　) A．1.5 B．2 C．3 D．4 2. (★★)如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线，交边BC于点D，连接AD．若∠B＝35°，∠C＝60°，则∠DAC的度数为(　　) A．50° B．40° C．35° D．30° 3. (★★)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 4. (★★)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 5. (★★★)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝(　　) A．40° B．45° C．50° D．60° 6. (★★★)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，FC﹣FB＝2，则EF的长是 　 　． 【题型3】 等腰三角形 【典题1】 如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(﹣1，0)，过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为 　 　． 【巩固练习】 1. (★)如图，在△ABC中，AB