预习篇 第15讲 正方形的性质和判定 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第15讲 正方形的性质和判定 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 正方形的概念 四条边相等、四个内角是直角的四边形是正方形. 2 正方形的性质 （1）正方形是最特殊的平行四边形，其性质具有菱形和矩形的性质. 四条边相等，四个内角是直角，对角线相等且互相垂直. （2）推广：下图中有很多等腰直角三角形，如，，，等. 2 正方形的判定 正方形的判定思路：具有矩形性质的菱形或具有菱形的矩形. （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形. 【题型1】 正方形性质的运用 【典题1】 如图．正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是4，则AB的长为(　　) A．4 B．2 C． D． 【典题2】如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为(　　) A．﹣2 B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是(　　) A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角 2. (★)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 3. (★★)如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为(　　) A．15° B．22.5° C．20° D．10° 4. (★★)如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是(　　) A．60° B．75° C．80° D．90° 5. (★★)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝4，则OE的长为(　　) A． B． C． D． 6. (★★★)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为(　　) A． B． C． D． 7. (★★★)如图，在正方形ABCD中，点A(2，0)，点B(0，4)，则点D的坐标为(　　) A．(6，2) B．(5，2) C．(6，3) D．(5，3) 8. (★★★)已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　． 9. (★★★)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点(DE＜BE)，连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G． (1)若AD＝2，DE＝1，求EG的长度； (2)求证：FG＝AB． 【题型2】 正方形判定方法的证明 【典题1】如下图，若四边形是菱形，且，证明四边形是正方形. 【巩固练习】 1. (★★)如下图，若四边形是矩形，且，证明四边形是正方形. 【题型3】 正方形判定方法的运用 【典题1】 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【典题2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F． (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． (3)在(2)的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长． 【巩固练习】 1. (★)下列说法错误的是(　　) A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2. (★★)如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列判断中不正确的是(　　) A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形 C．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 3. (★★)四边形ABCD中，AC、B