预习篇 第13讲 矩形的性质与判定 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第13讲 矩形的性质与判定 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 平行四边形中，若，则四边形是矩形. 2 矩形的性质 （1）矩形的四个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 在矩形中，， . 3 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如下图，在直角三角形中，点是斜边的中点，则. 推广：（1）结论可得, （2）若三角形中，则. 4 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 【题型1】矩形性质的证明 【典题1】若四边形是矩形，证明对角线相等，即. 【巩固练习】 1. (★★)若四边形是矩形，证明四个内角都是直角. 【题型2】 矩形性质的运用 【典题1】 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 　 　． 【巩固练习】 1. (★)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 2. (★)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为(　　) A．3 B．4 C． D．5 3. (★★)如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3，4)，则AC的长是(　　) A．5 B． C． D．7 4. (★★)如图，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，点R、P分别是DC，BC上的点，点E、F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR＝9，则EF＝(　　) A．12 B．12.5 C．9 D．不能确定 5. (★★)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为(　　) A．1cm B．cm C．cm D．2cm 6. (★★★)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，则∠AEO＝　 　．​ 7. (★★★)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且BE＝OE．若AE＝6，则OA的长为　 　．​ 【题型3】矩形判定方法的证明 【典题1】在平行四边形中，对角线，证明平行四边形是矩形. 【巩固练习】 1. (★★)在四边形中，，证明四边形是矩形. 【题型4】 矩形判定方法的运用 【典题1】 如图，延长▱ABCD的边AD到E，使DE＝AD，连接BE，DB，EC．再添加一个条件，不能使四边形BCED成为矩形的是(　　) A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【典题2】如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，延长BE至G，使FG＝BF，连接DF，DG，CG． (1)求证：DG∥AC； (2)当AB＝BF时，求证四边形DFCG是矩形． 【巩固练习】 1. (★)下列说法正确的是(　　) A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．对角互补的平行四边形是矩形 2. (★)如图，若要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　) A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD 3. (★★)如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　) A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 4. (★★★)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为(　　) A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 5. (★★★)如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 6. (★★★)如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度． 7. (★★★)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长