预习篇 第11讲 平行四边形的性质 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第11讲 平行四边形的性质 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 平行四边形概念 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”. 如下图，四边形中，，则四边形是平行四边形. 2 平行四边形的性质 上图是平行四边形， （1）两组对边分别平行，即，； （2）两组对边分别相等，即，； （3）两组对角分别相等，即，； （4）对角线互相平分，即，。 【题型1】 平行四边形的性质的证明 【典题1】 若四边形是平行四边形，证明. 解析 证明 连接， 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得，， 所以，， 在和中， 所以， 所以. 【巩固练习】 1. (★★)若四边形是平行四边形，证明，. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得，， 所以，， 所以， 同理可得. 2. (★★)若四边形是平行四边形，对角线和交于点，证明，. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得， 所以，， 由平行四边形的性质可得， 在和中， 所以， 所以，. 3. (★★★)若四边形是平行四边形，对角线和交于点，证明过点的直线把平行四边形的面积一分为二. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，所以，， 所以， 在和中， 所以，所以， 同理可得， 又易得， 所以， 所以， 即过点的直线把平行四边形的面积一分为二. 【题型2】平行四边形性质的运用 【典题1】 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝(　　) A．36° B．108° C．72° D．60° 解析 在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3， 设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°，解得x＝36°， 则∠D＝108°． 故选：B． 【典题2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 　 　． 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝， ∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝2， ∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝()2＝5，∴CE2+DE2＝CD2， ∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴， 故答案为：2． 【典题3】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且 ∠ADC＝60°，，连接OE．下列结论中不成立的是(　　) A．∠CAD＝30° B．S平行四边形ABCD＝AB•AC C．OB＝AB D． 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°． ∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故选项A不符合题意； ∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故选项B不符合题意； ∵AB＝BC，OB＝BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故选项C符合题意； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE，∴BE＝CE， ∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故选项D不符合题意． 故选：C． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为(　　) A．1和4 B．4和1 C．2和3 D．3和2 答案 D 解析 ∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE＝∠EAD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝3， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2． 故选：D． 2. (★★)已知▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．140° 答案 B 解析 在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝110°． 故选：B． 3. (★★)如图，在直角坐标系中，▱OABC的顶点A(1，4)、C(5，0)，则B的坐标为(　　) A．(5，4) B．(6，4) C．(6，5) D．(5，6) 答案 B 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥OC，AB＝OC， ∵A(1，4)、C(5，0)，∴点B(6