4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式 复习回顾 1、等比数列的前n项和公式 (1)“知三求二”实质是方程思想． (2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式 求和比较方便； 当已知a1，q，an时，则用公式 求和． 2、方法总结 当q=1时，Sn=na1 新知探究 思考1：等比数列前n项和公式 (q≠1)有什么样的函数特征？ 等比数列前n项和公式的性质 ①当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. ②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. qn的系数与常数项互为相反数. 则Sn＝Aqn－A. 1、一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n，则λ=( ) A、-1 B、1 C、2 D、3 例题解析 B 解析：∵Sn＝Aqn－A. ∴qn的系数与常数项互为相反数. ∴1-2λ=-λ，∴λ=1 随堂练习 1、若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k等于　　　.  解析：∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列， ∴3-2k=0，即 2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 例题解析 解析：(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案． 解：(1)当λ=3时，Sn=2n＋3， ①当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1. ②当n=1时a1=S1=5，不符合上式. 2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 例题解析 解：(2)由Sn＝2n＋λ，得 ①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ； ②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 若存在常数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列． 解析：(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值． 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n-1，判断{an}是不是等比数列，请说明理由． 随堂练习 解：由Sn＝2n-1，得a1=S1=1， 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n-1)－(2n－1-1)=2n－1， 令n=1，得21-1=1=a1，所以an=2n－1，n∈N*， 所以{an}是等比数列. 新知探究 注意：(3)(4)不能作为证明方法，证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法． 等比数列的判定 (2)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． (1)定义法：若数列{an}满足 (q为常数且不为零)或 (n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和为Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列． 新知探究 思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？ 等比数列前n项和公式的性质 (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 3、已知等比数列{an}共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( ) A、30 B、60 C、90 D、120 例题解析 D 解：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶=qS奇=3S奇 又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S偶 ∴S奇= 30，S偶= 90 故数列{an}的所有项之和是 30+90=120.