4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式 1、等比数列的定义： 3、等比数列的主要性质： 2、通项公式： 复习回顾 an=a1·qn-1 an=am·qn-m ①a，G，b成等比数列 则am·an=ap·aq=at2 ⇔G2=ab ②在等比数列{an}中若m+n=p+q=2t 情景导入 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知1000颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言. 情景导入 问题1：这位聪明的发明者要求的麦粒总数是多少呢？ 麦粒总数为 问题2：1，21，22，…，263 构成什么数列？ 等比数列 问题3：1+21+22+…+263 应归结为什么数学问题呢？ 求等比数列的前n项和问题 1+2+22+23+……+263=？ 新知探究 探究1：如何求这个数列的前n项和？ 探究2：观察上式相邻两项，有什么特征？ 所以将①式两边同乘以2则有 如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的项 S64=1+2+22+···+ 262 +263 ① 2S64=2+22+23+···+263+264 ② 新知探究 探究3：比较①、②两式，你有什么发现？ S64=1+2+22+···+262+263 ① 2S64= 2+22+23+···+263+264 ② 思考：观察整个过程，①式两边为什么要乘以2？ ①-②得： 错位相减法 S64=264-1 新知探究 探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言. 一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍． 因此，国王根本不可能实现他的诺言． 264-1=18446744073709551615≈1.84×1019 新知探究 思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？ ①-②得： ①×q 得 思考2：要求出Sn，是否可以把上式两边同除以(1-q)？ Sn=a1+a2+a3+···+an-1+an Sn=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+···+a1qn-1+a1qn ② (1-q)Sn=a1-a1qn 新知探究 思考2：要求出Sn，是否可以把上式两边同除以(1-q)？ (1-q)Sn=a1-a1qn ①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得 ②当1-q＝0，即q＝1时， 注意：分类讨论 Sn=a1+a2+a3+···+an-1+an =a1+a1+a1+···+a1+a1 =na1 1、等比数列的前n项和公式 新知探究 (1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况. (2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法. (3)步骤: 乘公比，错位写，对位减. 注意： 新知探究 思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？ (1)当公比q≠1时，设 ，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是关于n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是关于n的正比例函数 1、已知数列{an}是等比数列. 例题解析 1、已知数列{an}是等比数列. 例题解析 1、已知数列{an}是等比数列. 例题解析 解得n=5. 1、在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1， ，则S10＝(　　) 随堂练习 B 解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式．设公比为q， 则该数列的前10项和为 1、等比数列的前n项和公式 新知探究 方法二： Sn =a1+a2+···+an =a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2) =a1+qSn-1 =a1+q(Sn–an) ∴(1–q)Sn=a1–qan 当q=1时，Sn=na1 1、等比数列的前n项和公式 新知探究 方法三： 当q=1时，Sn=na1 2、在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. 例题解析 ∴n=6. 解：(1)显然q≠1， 又an=a1qn-1. 2、在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. 例题解析 解(法一)：(2)由S6≠2S3，得q≠1