4.3.1等比数列的概念2课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 复习回顾 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 定义式 公差公比 公差d可正、可负、可为零 通项公式 等差/比中项 公比q可正、可负、不可为零 累乘法 不完全归纳法 探究新知一 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们观察图中那些着色三角形的个数，并把它们按面积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数：a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，a5=81，… .可以知道，这些数构成等比数列. 探究新知一 探究：a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，a5=81，a6=243，a7=729 …这些数构成等比数列. 说出27是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律。 思考：观察项的下标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？ 可以得到：272=9×81=3×243=1×729 ∴可得到：a42=a3a5=a2a6=a1a7 猜想：等比数列{an}中，已知m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，aman=asat . 探究新知 等比数列{an}中，已知m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，证明aman=asat . 证明：∵设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 aman=(a1qm-1)(a1qn-1)=a12qm+n-2 asat=(a1qs-1)(a1qt-1)=a12qs+t-2 而m+n=s+t 所以aman=asat . 若{an}是等比数列，公比为q，正整数m，n，s，t满足m+n=s+t，则aman=asat . 特别地，当m+n=2k(m，n，k∈N*)时，aman=ak2 . 1、等比中项的推广 探究新知 即：下标和相等，对应项的积相等 等比数列{an}中，若m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，则aman=asat . ① 特别地，当m+n=2k(m，n，k∈N*)时，aman=ak2 . ② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1an=a2an-1=……=akan-k+1=…… 例题解析 1、已知{an}为等比数列．(1)若{an}满足a2a4＝ ，求a1a32a5；(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)在等比数列{an}中， 例题解析 1、已知{an}为等比数列．(1)若{an}满足a2a4＝ ，求a1a32a5；(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(2)∵a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49， ∴由等比中项的性质，得a62＋2a6a8＋a82＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0，∴a6＋a8＝7. 例题解析 1、已知{an}为等比数列．(1)若{an}满足a2a4＝ ，求a1a32a5；(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 随堂练习 1、在等比数列{an}中，若a2a8＝9，则a3a7＝(　　) A、3 B、±3 C、9 D、±9 C 解：∵2＋8＝3＋7，∴a3a7＝a2a8＝9. 2、等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________． 解：由题意得a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 ＝a917 ＝－217. 随堂练习 3、已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值. 解：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴由等比中项的性质，得a32＋2a3a5