预习篇 第9讲 勾股定理 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第9讲 勾股定理 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么. 2常见勾股数 常见勾股数的有；；；等. 3 两种特殊直角三角形 （1）含的直角三角形的三边长度之比为. 略证：设，则， 由勾股定理可得， 故. （2）等腰直角三角形的三边长度之比为. 略证：设，则， 由勾股定理可得， 故. 5 勾股定理的应用 （1）计算：利用勾股定理直接或间接（构造方程）求解几何量； （2）用于几何证明. 【题型1】勾股定理的证明 【典题1】 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，证明. 【巩固练习】 1. (★)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 2. (★)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3. (★★)将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 4. (★★★)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b＞a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2＝c2． 证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵△ABC≌△DAE，∴∠ABC＝∠DAE， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝ 　+　 　＝　 　， ∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝　 　， ∴　 ， ∴　 ． 【题型2】勾股定理解直角三角形 【典题1】 如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝(　　) A．20 B．25 C．35 D．30 【巩固练习】 1. (★)设直角三角形的两条直角边分别为a＝6和b＝8，斜边长为c(　　) A．8 B．10 C．15 D．16 2. (★)在Rt△ABC中，已知其两直角边长a＝5，b＝3，那么斜边c的长为(　　) A．3 B．4 C． D． 3. (★)如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝(　　) A．10 B．13 C．8 D．11 4. (★)如图，数轴上点A表示的数为﹣1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′所表示的数为(　　) A． B． C． D． 5. (★★)如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是(　　) A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD 6. (★★)如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD为1画第二个Rt△ACD；再以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长尾1画第三个Rt△ADE；…，以此类推，第n个直角三角形的斜边长是(　　) A．n B．n+4 C． D． 7. (★★★)已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足，则第三边的长为(　　) A． B．或 C．或 D．或或 【题型3】勾股定理的应用 【典题1】 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(　　) A． B． C． D． 【典题2】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是 　 　． 【典题3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF． (1)求AD的长；(2)求AF的长． 【巩固练