预习篇 第7讲 二次根式的乘除 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第7讲 二次根式的乘除 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 二次根式的乘法法则 。 【例】，. 2 二次根式的除法法则 。 【例】，. 3 二次根式的乘方法则 。 【例】. 4 最简二次根式 ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式. 【例】、是最简二次根式，、是最简二次根式. 5 分母有理化 若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化. 【例】，. 【题型1】 最简二次根式 【典题1】下列二次根式中是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)下列式子中，属于最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 2. (★)在二次根式中，最简二次根式有(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 3. (★)下列各式中，是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 4. (★)下列各式是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【题型2】 分母有理化 【典题1】 二次根式的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【典题2】若，则a的值所在范围为(　　) A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2 【巩固练习】 1. (★)计算的结果是　 ． 2. (★)化简的结果是　 ． 3. (★★)已知：，则a与b的关系是(　　) A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 4. (★★)实数的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　　． 5. (★★)已知，则a2﹣3ab+b2的值为　 　． 6. (★★★)阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为，所以a﹣1＝，所以(a﹣1)2＝2，所以a2﹣2a+1＝2，所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2，请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1) 的有理化因式是 　 　，＝　 　；的有理化因式是　 ，　　 ； (2)若，求﹣2a2+12a+3的值． 【题型3】 二次根式的乘除法 【典题1】 下列运算正确的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【巩固练习】 1. (★)若成立，则x的取值范围是(　　) A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 2. (★)下列运算错误的是(　　) A． B． C． D． 3. (★)下列运算中正确的是(　　) A． B． C． D． 4. (★★)已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 　 　． 5. (★★)计算： ①；②；③；④． 6. (★★★)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设 (其中a、b、m、n均为整数)，则有．∴．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值； (2)试着把7+4化成一个完全平方式． 7. (★★★)王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果a＞b，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法： 因为8＜12，所以，即 方法二： 因为8＜12，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 1. (★)若，则(　　) A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 2. (★)下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 3. (★★)下列运算中正确的是(　　) A． B． C． D．3 4. (★★)已知，则a、b的关系是(　　) A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 5. (★)若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　 　． 6. (★)计算：　　． 7. (★)计算：　　． 8. (★★)计算：(1) ；(2) ． 9. (★★★)探究过程：观察下列各式及其验证过程． (1) ；(2) ． 验证： (1) ； (2) ． ①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：