专题14切线长定理、圆内接正多边形 （2个知识点6种题型）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题14切线长定理、圆内接正多边形 （2个知识点6种题型） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.切线长定理 知识点2.圆内接正多边形 【方法二】 实例探索法 题型1.有关切线长定理的计算 题型2.圆内接正多边形边数的判断 题型3.计算边心距与边长 题型4.方程思想 题型5.新定义问题 题型6.规律探究题 【方法三】成果评定法 【学习目标】 1. 了解切线长的概念。 2. 掌握切线长定理，并能运用这一定理解决问题。 3.了解圆内接正多边形的概念。 4.掌握正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角之间的等量关系，并能运用这个等量关系解决具体题目。 【知识导图】 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　． 知识点2.圆内接正多边形 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 【例2】．（2022秋•嘉兴期末）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（　　） A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150° 【方法二】实例探索法 题型1.有关切线长定理的计算 1．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数． 2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 题型2.圆内接正多边形边数的判断 3．（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    题型3.计算边心距与边长 4．如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 题型4.方程思想 5．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ． 题型5.新定义问题 6．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有