抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

高三一轮复习：抽象函数的性质 ——奇偶性、对称性、周期性、单调性 我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示, 抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体. 抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛. 因此,我们应该掌握简单常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型,及其应用问题的基本方法. 借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果. 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型: 抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型 f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=kx(k≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)-b f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2 f(xy)=f(x)f(y) af(xy)=f(x)f(y) f(x+y)=f(x)f(y) f(x-y)= 指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y) kf(x+y)=f(x)f(y) f(x-y)= f(xy)=f(x)+f(y) f()=f(x)-f(y) 对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y)-k f()=f(x)-f(y)+k f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y) 余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x±y)= 正切函数f(x)=tan x 一次函数f(x)=kx+b (k≠0) 二次函数f(x)=ax2 (a≠0) 函数f(x)=kax (a>0,且a≠1,k≠0) 函数f(x)=logax+k (a>0,且a≠1) 余弦函数f(x)=cos x 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型: 抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型 f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=kx(k≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)-b 一次函数f(x)=kx+b (k≠0) f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2 f(xy)=f(x)f(y)或者af(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=ax2 (a≠0) f(x+y)=f(x)f(y)或者f(x-y)= 指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或者kf(x+y)=f(x)f(y) 或者f(x-y)= 函数f(x)=kax (a>0,且a≠1,k≠0) f(xy)=f(x)+f(y)或者f()=f(x)-f(y) 对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(xy)=f(x)+f(y)-k f()=f(x)-f(y)+k 函数f(x)=logax+k (a>0,且a≠1) f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y) 余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 余弦函数f(x)=cos x f(x±y)= 正切函数f(x)=tan x 抽象函数求值 赋值法、构造法 类型一 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)= 　　　　.  解析: (2)令x=y=1, 则f(2)=f(1)+f(1)+1=3. 令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7. 答案:(2)7 赋值法、构造法 点拨： 抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑: 令x=…,-2,-1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值. 赋值法、代换法、构造法 2.已知定义在R上的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,则f(0)+f(2)等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2, 令x=0,y=1,则有f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=2,则f(0)=1, 令x=y=1,则有f(2)=f(1)f(1)=2×2=4, 所以f(0)+f(2)=5.故选B. 赋值法、构造法 抽象函数的单调性与抽象不等式 [典例2] (2023·