复习篇 第7讲 数学思想方法 2024年七年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第7讲 数学思想方法 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 学习数学的过程中，我们要学习很多知识点和解题方法，而知识点和解题方法能够解决的数学问题是有限的，但其中蕴含的数学思想才是“数学的灵魂”，它才是最值得我们好好思考、好好去领会的。 在初一上学期里，数学思想方法大致有整体思想、方程思想、数形结合、分类讨论等. 1 整体思想 整体思想，简单来说是把一个式子看成一个整体，它是我们后面学习的“换元法”. 我们在学习整式和一元一次方程中都经常遇到. 【例】已知，则 . 解 . 2 方程思想 方程思想，简单来说是利用列方程的方法处理问题.当题中出现多个量，而它们之间存在一些线性关系（比如倍数关系、和或差为定值等），我们可以想到设未知数，利用方程把各个量联系起来进行求值. 一元一次方程的应用是方程思想最好的体现的，而在解答数轴动点问题、求线段长度、余角补角、角平分线等内容也有所运用. 【例】若一角的补角是余角的倍，那这个角的度数是 . 解 设这个角的度数为，则，解得. 3 数形结合 数形结合，简单来说是它能把代数问题转化为几何问题处理，也可以把几何问题转化为代数问题处理，常用是的前者. 数轴的学习就是最典型的“数形结合”， 【例】解方程. 解 可以理解为数轴上对应点到对应点的距离，则，由数轴看可知或. 4 分类讨论 分类讨论，简单来说是当某些问题的答案有几种可能性，你要分类进行解释；比如问你“新学期早上几点起床”，正常来说会分“周内”和“周末”两种情况进行说明. 我们在学习数轴动点问题等内容都有遇到要分类讨论的题目. 【例】化简. 解 当时，； 当时，； 当时，. 以上的数学思想我们在后面的学习中会随着知识点的深入对它们有更复杂的考核，同时也能加深对它们的理解，这必须从初一就引起重视. 【题型1】 整体思想 【典题1】 如果代数式2x+3y+1的值为4，那么代数式3﹣4x﹣6y的值为(　　) A．1 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【典题2】小孙同学遇到这样一道题：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2(a+b)+4(2a+b)的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是小孙同学想到了把5a+3b作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b＝2(5a+3b)＝2×(﹣4)＝﹣8． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 (1)已知a2+a＝2，则3a2+3a+2020＝　 　； (2)已知2a﹣b＝﹣3，求5(a﹣b)﹣9a+7b+5的值； 【拓展提高】 (3)已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，则2a2+ab+6b2＝　 　． (4)已知x2﹣2xy﹣7y2＝8，2x2+3xy﹣4y2＝5，则﹣4x2﹣13xy﹣2y2＝　 　． 【巩固练习】 1. (★)把(2a+b)看成一个整体，则3(2a+b)﹣4(2a+b)+(2a+b)的化简结果是(　　) A．(2a+b) B．2(2a+b) C．﹣(2a+b) D．0 2. (★)已知x2﹣3x+5＝0，则2x2﹣6x+7的值为(　　) A．17 B．﹣3 C．﹣5 D．2 3. (★★)已知a﹣b＝2，a﹣c＝，则代数式(b﹣c)2+3(b﹣c)+的值是(　　) A．﹣ B． C．0 D． 4. (★★)已知m2+mn＝﹣2，3mn+n2＝﹣9，则2m2+11mn+3n2的值是(　　) A．﹣27 B．﹣31 C．﹣4 D．﹣23 5. (★★★)计算(1﹣2﹣3﹣…﹣2022)×(2+3+…+2023)﹣(1﹣2﹣3﹣…﹣2023)×(2+3+…+2022)的结果是(　　) A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 6. (★★★)已知x2﹣y2＝3，y2+xy＝5，则3x2﹣xy﹣4y2＝　 　． 【题型2】方程思想 【典题1】 如图，AB＝19cm，点C是线段AB延长线上一点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则　 　cm． 【典题2】如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数． 【巩固练习】 1. (★★)如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB＝CD，AB＝10.5cm，那么BC的长为(　　) A．2.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 2. (★★)如图，点C、D、E在线段AB上，且AC：CD＝2：3