专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.垂径定理（重点） 知识点2.垂径定理的推论（难点） 知识点3.圆周角（重点） 知识点4.圆周角定理（重点） 知识点5.圆周角定理的推论（难点） 知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1.最短距离问题 题型2.辅助线的添加方法 题型3.方程思想 题型4.垂径定理的实际应用 题型5.圆中角度的计算 题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用 题型7.动点问题 题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合 【方法三】成果评定法 【学习目标】 1. 掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。 2. 掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。 3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。 4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.垂径定理（重点） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 【例1】．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为 　　． 【变式】．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点2.垂径定理的推论（难点） 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【例2】．（2022秋·九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（    ） A．7 B．4 C．5 D．6 【变式】．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 知识点3.圆周角（重点） 1.圆周角定义： 　 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　 2.圆心角与圆周角的区别与联系 【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角? 知识点4.圆周角定理（重点） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【例4】如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（ ） A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或 【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 . 知识点5.圆周角定理的推论（难点） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 【例5】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式】如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是 ． 知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点） （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 【例6】（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°． 【变式】如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 　 　． 【方法二】实例探索法 题型1.最短距离问题 1．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于，两点，交y轴于C，两点，点S是 上一动点，N是的中点，则线段的最小值是 ． 题型2.辅助线的添加方法 2．（2021秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.