广东省中山市沙溪镇沙溪初级中学2023-2024学年上学期九年级数学竞赛试题

2023-2024学年沙溪镇初中数学竞赛试题(九年级) 本试卷共15题; 满分:150分;考试时间:90分钟 一. 选择题(共5小题， 满分35分， 每小题7分) 1. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 ( ) 且k≠0 且k≠0 且 k≠0 2.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为(1，0)， (0，4)，将风车绕点 O顺时针旋转，每次旋转 90°,则经过第 2023 次旋转后, 点 D的坐标为( ) A. (-3, 1) B. ( -1, -3) C. (3, -1) D. (1, 3) 3.如图,已知△ABC中,∠C=70°, AB=10,内切圆⊙O半径为3,则图中阴影部分面积和是( ) 4. 已知二次函数 经过点 P(m, 2). 当y≥-1时, x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t. 则如下四个值中有可能为m的是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图,菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F,且AC=8, BD=8 ,若点 P是对角线BD上一动点, 连接AP, 将AP 绕点A逆时针旋转得到AE, 使得∠PAE=∠BAD,连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段 EF的最小值为( ) A. 4 B. 6 D. 12 二. 填空题(共5小题，满分 35分，每小题7分) 6. 若x=-1是一元二次方程. 的一个根，则它的另一个根是 . 7. 将抛物线 绕坐 标 原 点 旋 转 180°后，得到的抛物线的解析式为 .8. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知点A (0, 1)、 B (0, 1+t)、 C(0, 1-t) (其中 点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足 , 则t的取值范围是 . 9. 已知 则 10. 如图， 在平面直角坐标系中， 直线l：y=x-1与x轴交于点 A₁， 如图所示依次作正方形A₁B₁C₁O、正方形A₂B₂C₂C₁…、正方形 ,使得点A₁、A₂、A₃、…在直线l上,点 C₁、C₂、C₃、…在y轴正半轴上,则点 B₂023的坐标是 . 三.解答题(共5小题，满分80分) 11. (12分)解方程: 12. (13分)已知 求代数式 的值. 13. (15分)如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处,连接CE, 连接CG交BE于点H. (1)求证: CE平分∠BED;(2) 取BC的中点M, 连接MH, 求证: MH∥BG; (3) 若 BC=2AB=4, 求CG的长. 14. (20分)已知如图: 抛物线交x轴于点B(1, 0)、 点C(5, 0), 交y轴于点A(0, 5),点B、 点 D关于y轴对称. (1) 求抛物线解析式. (2)点 P 是抛物线上对称轴右侧一点，连接AD，△ADP面积最大时，求出 最大面积和此时点 P 的坐标. (3)点M在对称轴上， 点Q是第一象限内一点，以点A、D、M、 Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的坐标. 15. (20分)如图直角坐标系中， 以M(3， 0)为圆心的⊙M交x轴负半轴于A， 交x轴正半轴于 B, 交y轴于C、 D. (1) 若C点坐标为(0, 4),求点A坐标. (2)在(1) 的条件下,在⊙M上,是否存在点 P, 使 若存在， 求出满足条件的点 P. (3)过C作⊙M的切线CE,过A作AN⊥CE于 F,交⊙M于N, 当⊙M的半径大小发生变化时. AN的长度是否变化?若变化，求变化范围，若不变，证明并求值. 学科网（北京）股份有限公司 $$