4.2一元二次不等式及其解法 第2课时教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2一元二次不等式及其解法 第2课时 ( 教学目标 ) 掌握含有字母的一元二次不等式问题的处理方法；了解不等式恒成立等综合性问题的解法；掌握简单的分式不等式的解法及应用. ( 教学重难点 ) 1．含有字母的一元二次不等式问题的处理方法； 2．不等式恒成立等综合性问题的解法； 3．简单的分式不等式的解法. ( 课前准备 ) PPT课件 ( 教学过程 ) 一、复习引入 （1）一元二次不等式的解法：先看开口再看根，函数图象是根本，横轴上方y为正，根间根外想谨慎. 问题1：求不等式的解集. 这个不等式和一元二次不等式有什么关系？如何求解？ 师生活动：师生一起分析，将展开后，是一元二次不等式，画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集. 追问：你能总结或，其中a＜b的解集吗？ 师生活动：学生自己总结反思，写出结论. 二、新知探究 例4.求关于的不等式的解集（其中是常数）. 问题2：该不等式与不等式有什么不同？这个不同点将使得该不等式的求解发生怎样的变化？ 师生活动：学生关注到原不等式可以化简为，a与－1的大小关系不能确定，教师引导学生要分类讨论求解，分类的标准就是a与－1的大小关系，因此可以分三类. 预设的答案： ，对应二次方程两根为 对应抛物线开口向上，小于零的解集是“两根之间” 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 变式1：求不等式的解集. 追问2：该不等式与例4中的不等式有何异同？又该如何分类求解？ 师生活动：学生求得一元二次方程的两个实根，然后根据的大小关系，分三类求解. 预设答案： 解：当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为. 追问3：当时，变式1的解集又如何求解？ 师生活动：学生思考对参数进行讨论，教师帮助梳理清楚分类标准：首先，该不等式是否为二次的，因此分为a=0和a≠0两类.第二，依据该不等式对应的二次函数图象开口方向不同，分为a＞0和a＜0两类.第三，当a＞0时，根据方程的两个根的大小关系又可以分为三类. 预设答案： 解：当时，不等式可化为，解得 当时，方程的根为 若，则，不等式解为 若a＞0，则 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 变式2：①不等式呢？ 师生活动：学生自主思考，教师引导学生观察式子特点和例题的差异，对式子进行变形求解，要求学生紧紧围绕二次函数的特点寻找解题思路.师生一起总结：和例4相同；对应的一元二次方程的解无法确定，为此需要对的取值情况讨论，分三类进行. 预设答案： 解：对于，，所以当，即≤0时，不等式的解集为. 当或，即＞0时，不等式的解集为. 设计意图：通过问题串引导学生根据函数图象得到相应的一元二不等式的解集.学会对于含参的一元二次不等式的分类讨论，理清分类标准的依据，进一步认识一元二次函数，不等式和方程关系的整体性，体会数形结合思想，提高分析问题和解决问题的能力. 2．含参数的一元二次不等式求参数范围 例5. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____ 师生活动：教师指导学生借助一元二次函数图象完成.同时强调本题不等式没有说明是二次不等式，因此需要分类讨论. 预设答案： 解：当时，恒成立，因此适合； 当时，要使不等式对一切恒成立，则，解得 综上可知：的取值范围是[0，1]. 追问4：若不等式解集为空集时，的取值范围是什么？ 师生活动：学生独立完成，之后互相讨论，教师引导学生画出二次函数的简图，在构造不等式时，注意对的分类. 设计意图：从不同角度体会一元二次不等式与一元二次函数与方程根的关系，学会分类讨论，突出体现数形结合的思想及等价转化思想. 3、 初步应用 (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)解关于的不等式. 预设的答案： (1) 不等式的解集为． 当时，不等式为，恒成立，所以符合题意； 当时，的解集为，则抛物线的开口只能向上，且，即解得. 综上，的取值范围 (2) 不等式等价于且． 如果展开，其二次项系数为负，抛物线开口向下． 所以不等式的解集为. （3）不等式 当时，原不等式为，解集为 当时， 原不等式为，对应两根为，则 ①若，则，且对应抛物线开口向下，所以解集为 ②若，对应抛物线开口向上 i)，则，所以解集为 ii)，则， 所以解集为 iii)，则，所以解集为 综上，当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 【课堂练习一】 1．关于的不等式的解集为（ ） A． B． C．