4.2一元二次不等式及其解法第1课时教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2一元二次不等式及其解法 第1课时 ( 教学目标 ) 1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法； 2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力； ( 教学重难点 ) 重点： 1．一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念； 2．一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系； 3．运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集． 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系． ( 课前准备 ) PPT课件． ( 教学过程 ) 一、问题引入 问题1：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距(单位：)与车速弑单位：)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据. 甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过，乙车的刹车距刚刚超过.已知这两辆汽车的刹车距函数如下： ． ． 车速超过属违章. 试问：哪一辆车违章超速行驶？ 师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：只需分别解出使不等式和成立的的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶. 追问1：不等式即，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？ 师生活动：学生可以回答这个问题．之后教师给出一元二次不等式的定义，一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：，并且强调二次项的系数．一元二次不等式形如，其中“”也可换成“”“”“”，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义． 二、探究新知 1．探究一元二次不等式的解法 问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？ 师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下： 设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫． 问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数为例． 师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考． 追问2：教师用信息技术画出函数的图象，图象与x轴有两个交点，并在函数图象上任取一点．当点在抛物线上移动时，请你观察：随着点的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？ ★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系． 注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用． 师生活动：学生观察思考后回答． 预设的答案：当点移动到轴上时，它的纵坐标等于（即）；当点移动到轴上方时，它的纵坐标大于（即）；当点移动到轴下方时，它的纵坐标小于（即）． 追问3：当点P的纵坐标时、时、时所对应的横坐标的取值范围分别是什么？ 师生活动：学生独立获得答案． 预设的答案：当时，即方程的解，并且也是二次函数的零点． 当时，即不等式的解集是． 当时，即不等式的解集是． 教师总结：利用函数的图象，可以求得不等式和的解集． 追问4：问题1中的解答是什么？（略．） 设计意图：在具体的例子中，类比三个“一次”的关系理解三个“二次”之间的关系，进一步感受用函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解方程和不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力． 2．归纳一元二次不等式的一般解法． 问题4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系？请你完成下表． 的图象 的根 的解集 的解集 师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法． 预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x轴的相关位置确定不等式对应的x的取值范围，而确定x的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 的图象