29.1 投影-2023-2024学年九年级数学下册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年九年级数学下册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版） 29.1 投影 1.理解和掌握投影、平行投影、中心投影以及正投影的概念； 2.能够区分平行投影和中心投影的关系，掌握投影的作图方法和性质； 一、投影的概念 1.投影的概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影。这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面。 【理解与拓展】物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面。 2.平行投影 由平行的光线所形成的投影是平行投影。太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影。 【理解与拓展】平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的。利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影。 3.中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心。 在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。 规律 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子 上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置。 4.正投影 (1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影。 (2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3 种情况。 ①当线段AB 平行于投影面时，它的正投影是线段 这时 ②当线段 AB 倾斜于投影面时，它的正投影是线段 这时 ③当线段AB 垂直于投影面时，它的正投影是一个点 如图。 一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。 平面图形的正投影分3 种情况： ①当平面图形平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正 投影与这个平面图形全等。 ②当平面图形倾斜于投影面时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但 不一定相似。 ③当平面图形垂直于投影面时，它的正投影是一条线段，如图。 一般地，平面图形正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段。 技 巧正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制。 (3)作物体的正投影。作物体的正投影，观察和思考的过程如下： 　把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者一物体一投影面的顺序摆好，由 观察者的眼睛假想发出一束平行的投射线，这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影。 题型一 平行投影 如图，数学兴趣小组下午测得一根长为的竹竿影长是，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高，地面上的影长为．请你帮算一下，树高是 ． 1．中午12点，身高的小冰的影长为，同学小明此时在同一地点的影长为，那么小明的身高为 ． 2．下列投影，属于平行投影的是（   ） A．晚上路灯下小孩的影子 B．阳光下沙滩上人的影子 C．汽车灯光照射下行人的影子 D．皮影戏中的影子 题型二 中心投影 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（    ） A． B． C． D． 1．如图是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面（桌面的厚度忽略不计），则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将 ．（填“变长”或“变短”） 题型三 正投影 如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ． 1．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 2．如图，是线段在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（    ） A． B． C． D． 二、平行投影与中心投影的关系 1.平行投影与中心投影的关系 (1)联系 ①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线。 ②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同 物体和它们的影子之间存在着相似关系。在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会