28.2 解直角三角形及其应用-2023-2024学年九年级数学下册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年九年级数学下册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版） 28.2 解直角三角形及其应用 1.理解和掌握解直角三角形的概念，能够根据已知的边角，求出直角三角形的其他边角； 2.能够利用直角三角形的边角关系，构造直角三角形，解决实际问题； 一、解直角三角形 1. 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫作解直角三角形。 2.直角三角形的边角关系 在中，，，，的对边分别为 a，b，c。 (1)三边之间的关系：。 (2)锐角之间的关系： 。 (3)边角之间的关系：；。 3.解直角三角形的几种类型及解法 (1)已知一条直角边和一个锐角（如a，），其解法为 ，，（或）。 (2)已知斜边和一个锐角（如c，），其解法为 ，，（或）。 (3)已知两直角边a，b，其解法为 ，由得，。 (4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为（，由求出，。 题型一 解直角三角形的有关计算 在中，，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D．8 1．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型二 解非直角三角形 在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 1．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 1．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 2．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 二、解直角三角形的实际应用 1.仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高 处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。 2.坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 3.方向角(方位角)：如图中，过观测点 O 作一条水平线(一般向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则观测点 O 与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角叫作方向角(方位角)。在解有关方向角问题时，常以南北或东西方向线为直角边，构造直角三角形求解。 4.跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，中柱为 CD。 题型四 仰角与俯角问题 大汉雄风坐落于芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，是亚洲最大的历史人物雕像，外为塑铜焊接，内是钢架结构，内有四层旋转楼梯，两个观光平台，游客可乘电梯上至位于塑像肩部的观光平台上，芒砀山周围方圆80里风景将尽收眼底，游客将会真正体会到会“当凌绝顶，一览众山小”的意境，某数学小组为测量刘邦雕像的高度，在步梯4处（如图2）测得雕像顶D的仰角为，沿坡比为的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得雕像顶D的仰角为，求雕像高度．（结果精确到1米．参考数据：，） 1．在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍如图，无人机在空中处的飞行高度为，地面观测点处观测无人机在空中处的仰角，已知米，求此时无人机的飞行高度．(结果精确到米) 【参考数据：，，】 2．某兴趣小组测量一棵松树的高度．如图，在离树干的处，用高的测角仪测得松树顶端的仰角，已知树干和测角仪均与地面垂直，求该树干的高．（参考数据：） 题型五 坡度与坡比问题 如图，梯形是拦水坝的横断面图（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．，，，拦水坝的横断面的面积是 ．（结果保留整数，参考数据：） 1．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为，斜坡AB的水平宽度米，则斜坡的铅直高度的长为 米． 2．一个人从山下沿角的坡路登上山顶，共走了，那么这山的高度是 ． 题型六 方位角问题 如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，） 1．如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行 海里． 2．如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶一段距离至B地，再沿北偏东方向行驶千米到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向，那么A，B两地的距