预习03讲 平面向量的数乘运算（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习03讲 平面向量的数乘运算（精讲+精练） ①平面向量数乘的定义及相关运算 ②平面向量的线性运算 ③平面向量共线的判定及应用 一、向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 二、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 三、向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 题型一：数乘运算的定义及其几何意义 策略方法 ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 【题型精练】 一、单选题 1．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 2．化简为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．且 D．以上说法都不对 4．下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列说法中正确的是（　　） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 6．已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 7．若都是非零向量，且，则（    ） A．方向相同 B．方向相反 C． D． 8．如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．[多选]向量，则下列说法正确的是（　　） A． B．向量方向相反 C． D． 三、填空题 10．化简： ． 11．若，则 . 12．已知，若记，则 ． 题型二：平面向量的线性运算 策略方法 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 【题型精练】 一、单选题 1．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 4．在梯形中，是中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 7．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．设四边形中，且，则这个四边形是 ． 9．如图，在中，向量，且，则 . 10．若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ． 题型三：平面向量共线的判定及应用 策略方法 (1)证明或判断三点共线的方法 ①一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. ②利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y 且x+y=1. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. 【题型精练】 一、单选题