预习02讲 平面向量的加法、减法运算（精讲+精练）-2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习02讲 平面向量的加法、减法运算（精讲+精练） ①向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则 ②向量加法运算律的应用 ③利用向量加减法判断平面图形的几何形状 一、向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接连首尾） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （4）多个向量相加 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图. 二、向量加法的运算律 （1）交换律 （2）结合律 三、向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 四、向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 题型一：向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则 策略方法 (1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法 法则 作法 三角形 法则 ①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示). ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行四 边形法 则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点. ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形. ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 (2)向量减法的三角形法则作图的方法 此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”. 【题型精练】 一、单选题 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正六边形ABCDEF中，（　  　）    A． B． C． D． 4．已知四边形是平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 5．四边形是梯形，，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．如图，向量，，，则向量（    ）    A． B． C． D． 7．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 8．下列式子可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 9．化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知，，，为平面上的四个点，则 . 11．简化 ． 12．某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ． 13．向量可以写成：①；②；③；④. 其中正确的是 (填序号). 14．如图，在菱形ABCD中，，，则 ． 15．已知为正三角形，则下列各式中成立的是 .（填序号） ①；②；③；④. 四、解答题 16．如图，请在图中直接标出： (1)＋． (2)＋＋＋． 17．如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 18．如图，在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，化简． 19．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作向量: （1）； （2）. 20．如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 题型二：向量加法运算律的应