5.5.1第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理) 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.(数学运算) 复习回顾 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和差的余弦公式 两角和差的正弦公式 两角和差的正切公式 如果将两角和的余弦公式中的角换成角,会发生什么变化? 更换成角 同理,我们将两角和的正弦、正切公式中的角也换成角 新知梳理 2sin cos cos2 -sin2 2cos2 -1 1-2sin2 二倍角的余 弦公式的三 种表示形式 二 倍 角 公 式 倍角公式不仅可运用于2 是 的二倍的情况,还可运用于4 作为2 的二倍, 作为的二倍,3 作为的二倍, + 作为的二倍等情况. 二倍角公式的变换 (1)因式分解变换. cos 2 =cos2 -sin2 =(cos +sin ) (cos -sin ). (2)配方变换. 1 sin 2 =sin2 +cos2 2sin cos =(sin cos )2. (3)升幂缩角变换. 1+cos 2 =2cos2 , 1-cos 2 =2sin2 . (4)降幂扩角变换. 题型一:给角求值 例题讲解 例1. 求下列各式的值: 对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 反思感悟 例题讲解 题型二 :给值求值 两边平方, 解决给值求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. (3)注意几种公式的灵活应用,如: 反思感悟 例题讲解 题型三:化简与证明 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 反思感悟 跟踪训练 A.2sin 15 cos 15 B.cos215 -sin215 C.2sin215 D.sin215 +cos215 跟踪训练 4.cos275 +cos215 +cos 75 cos 15 的值等于 5.sin 22.5 cos 202.5 =_. 答案:BCBC 本 课 结 束 学习的本质就是 极 致 的 重 复 19 cos2 =(1+cos 2 ),sin2 =(1-cos 2 ),sin cos =sin 2 . (1)sin cos ; (2)1-2sin2750 ; (3) ; (4)cos 20 *cos 40 *cos 80 . 解 (1)原式=. (2)原式=cos(2 750 )=cos 1 500 =cos(4 360 +60 )=cos 60 =. (3)原式=tan(2 150 )=tan 300 =tan(360 -60 )=-tan 60 =-. (4)原式= = = =. ∵cos>0,∴< +<. ∴sin=-=-=-. ∴cos 2 =sin=2sincos=2 =-, sin 2 =-cos=1-2cos2=1-2 2=. ∴cos=cos 2 -sin 2 = =-. 例2 已知cos=,≤ <,求cos的值. 解 ∵≤ <,∴≤ +<. 得sin2x+-sin 2x=, ∴ +-sin 2x=, 即sin 2x +cos 2x =, ∴sin=. 若本例条件变为:若x∈,sin=,求sin的值. 解 由sin=,得sin xcos -cos xsin =, ②cos 2x=sin=sin =2sincos. ①sin 2x=cos=cos =2cos2-1=1-2sin2; 例3 (1)化简:cos2( +15 )+sin2( -15 )+sin( +90 )cos(90 - ); (2)证明:=tan . (1)解 原式=+cos sin =1+(cos 2 cos 30 -sin 2 sin 30 -cos 2 cos 30 -sin 2 sin 30 ) +sin 2 =1-sin 2 sin 30 +sin 2 =1. (2)证明 左边= = ==tan =右边,所以等式成立. 3.sin4-co