专题06 幂函数13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题06 幂函数13种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求幂函数的解析式或值 考点二 根据函数是幂函数求参数值 考点三 幂函数的定义域问题 考点四 幂函数的值域问题 考点五 幂函数的图象及应用 考点六 幂函数的图象过定点问题 考点七 判断幂函数的单调性 考点八 由幂函数的单调性求参数 考点九 比较幂值的大小 考点十 利用幂函数的单调性解不等式 考点十一 幂函数的奇偶性的应用 考点十二 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 考点十三 幂函数性质的综合应用 1、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2、五个幂函数的图象与性质 （1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． （2）五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 3、一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4、幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 5、幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 7、解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 8、比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 9、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 考点一 求幂函数的解析式或值 1．（2023上·上海普陀·高一校考期末）设函数，则 ． 2．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 3．（2023上·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2023下·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若函数是幂函数，满足，则 ． 5．（2023下·重庆沙坪坝·高