空间向量与立体几何专题训练（一卷）-2023-2024学年高二数学上学期+选择性必修第一册（人教A版2019）含答案解析

2023—2024学年度高二上学期数学期末复习 空间向量与立体几何专题精练（一卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为 A． B． C． D． 2．在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是 A． B．与所成角为 C．平面 D．与平面所成角的余弦值为 5．设，，与垂直，则等于（    ） A．6 B．14 C． D． 6．已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线与平面所成角的大小为 C．若，则直线平面 D．若，则平面，夹角的大小为 10．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 11．判断下列结论正确的是（   ） A．空间中任意两个非零向量，共面． B．在三个向量的数量积运算中． C．对于非零向量，由数量积，则． D．若，，，是空间任意四点，则有． 12．如图，在棱长为1正方体中，分别是的中点，则（    ） A．四点共面 B．直线与面所成角为 C．异面直线与面所成角的余弦值为 D．过三点的平面截正方体所得图形面积为 三、填空题 13．正方体的棱长为1，点为线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 . 14．在斜三棱柱中，为中点，，，，用，，表示，则 . 15．已知空间三点坐标分别为,点在平面内,则实数的值为 . 16．已知，，则 . 四、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)若为棱上一点，满足，求平面与平面所成角的余弦值. 18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E． (1)求证； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，以AE、BE为折痕将△ADE与△BCE折起，使D，C重合(仍记为D)，如图乙. （1）证明：； （2）求二面角D-BE-A的余弦值 20．如图，在四棱锥中，平面，. （1）求A到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长. 21．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F． (1)当时，证明：平面； (2)当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积． 22．如图，在三棱锥中，平面，，．　 (1)证明：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【解析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标后可得所求长度． 【详解】如图，建立空间直角坐标系． 由题意得，设点的坐标，则． 由题意得与平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，，． 因为直线与所有的棱所成角相等， 所以， 因此， 所以，解得， 所以点的坐标，即为正方形对角线的交点， 因此，所以． 故选D． 【点睛】解答本题的关键是确定点M的位置，空间直角坐标系坐标系的建立，为探求未知点的位置提供了良好的工具，考查转化能力和计算能力，属于中档题． 2．C 【分析】利用空间向量基本定理用表示出，然后对等式两边平方化简结合已知条件可求得结果 【详解】因为，，，，， 所以 ， 所以. 故选：C. 3．C 【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，，可得，利用线线角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，，，，， 设，，即，， ； 对于A，不是定值，A错误； 对于B，不是定值，B错误； 对于C，， 直线与所成角为定值，C正确； 对于D，不是定值，D错误. 故选：C. 4．C 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】解：设正方体ABCD﹣A1