8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系题型讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 §8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 一、空间点、线、面之间的位置关系 位置关系 符号语言 位置关系 符号语言 位置关系 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在平面α内 A∊α 直线l在平面α内 l⊂α 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α外 l⊄α 二、平面的基本事实及推论 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 推论 基本事实1 过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面 ②证明点、线共面问题 ③判断两个平面重合的依据 基本事实1,2的推论 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①判定直线和点是否在平面内 ②说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β ⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线与直线的位置关系 共面直线 相交直线 1个 平行直线 0个 异面直线 （不同在任何一个平面内） 0个 直线与平面的位置关系 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线在平面外 直线与平面平行 有且只有1个 a∩α＝A 直线与平面相交 0个 a∥α 平面与平面的位置关系 两个平面平行 0个 α∥β 两个平面相交 无数个 (有一条公共直线) α∩β＝a 题型一：空间中点（线）共面问题 【典例】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1.如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 2.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.求证：四点共面. 题型二：平面分空间的区域数 1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（    ） A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 2．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 3．下列四个选项中的命题是真命题的是（　　） A．若四点不共面，则其中任意三点不共线 B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分 题型三：平面的基本性质的应用 【典例】如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 . 【变式】1．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2．棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（    ） A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为 C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 立体几何初步 §8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 一、空间点、线、面之间的位置关系 位置关系 符号语言 位置关系 符号语言 位置关系 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在平面α内 A∊α 直线l在平面α内 l⊂α 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α外 l⊄α 二、平面的基本事实及推论 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 推论 基本事实1 过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面 ②证明点、线共面问题 ③判断两个平面重合的依据 基本事实1,2的推论 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线