4.2.2换底公式同步练习-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2.2换底公式 练习 一、单选题 1．下列函数满足的是 A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（    ） A． B． C． D． 3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（    ） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 4．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．计算（    ） A．8 B．6 C．－8 D．－6 6．设，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．-2或4 7．若实数x满足，则（    ） A． B． C． D． 8．我国每年浪费的粮食总量至少能养活2亿人，而全球有近6.9亿人处于饥饿状态.习近平总书记对制止餐饮浪费作出重要指示，强调要“坚决制止餐饮浪费行为，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻，节约为荣的氛围”，在各级政府的大力倡导下，人们的节约意识逐步提高，浪费的粮食以每年%递减，从2020年开始计算，我国最早从哪一年开始能使浪费的粮食不超过2020年浪费粮食总量的？（    ）（参考数据：） A．2032 B．2033 C．2034 D．2035 二、多选题 9．已知函数（为整数），若，则的值可能是（    ） A．－3 B．0 C．1 D．5 10．若，，，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）设都是正数，且，那么（ ） A． B． C． D． 12．若，，，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．的值是 . 14．化简 . 15．已知，，则 .（结果用a，b表达） 16．已知2x＝7y＝196，则 ． 四、解答题 17．（1）解方程： （2）已知，，求（用a，b表示） 18．（1）计算化简： ①； ②. （2）已知，，试用表示. 19．求证： （1）；       （2）. 20．求证：，其中，且，，，且. 参考答案： 1．C 【分析】根据对数的换底公式可知，题目要找的是满足的函数，将代入选项中的函数进行验证，从而得出正确选项. 【详解】由于，故问题等价于满足的函数.对于A选项，，不符合题意.对于B选项，，不符合题意.对于C选项，，符合题意.对于D选项，，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查函数的定义，考查函数的对应法则，还考查了对数换底公式相关的公式：，属于基础题. 2．D 【分析】利用换底公式和对数运算法则得到，，进而再用换底公式和对数运算法则表示出 【详解】，，， 则 故选 ：D 3．A 【分析】由可得,进而将条件代入求解即可. 【详解】,, 故选:A 【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题. 4．C 【解析】利用对数的换底公式可将用、表示. 【详解】. 故选：C. 5．C 【分析】根据对数的计算法则和换底公式运算即可. 【详解】, 故选：C. 6．B 【解析】直接利用对数的换底公式求解. 【详解】条件中的等式左边， 所以， 解得或 (舍去). 故选：B 7．C 【分析】先求得,再根据对数的运算及换底公式化简即可求解. 【详解】实数x满足,则 则 故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式的应用,指数幂的化简求值,属于基础题. 8．C 【分析】首先根据条件列式，再利用指对互化，换底公式，化简求值. 【详解】设2020年浪费的粮食总量为，第年开始浪费的粮食不超过2020年浪费粮食总量的5%，则，化简为，又，则. 故选:C． 【点睛】关键点点睛：本题考查指对函数的实际应用，关键点是理解题意，并且能正确运算换底公式化简求值. 9．ACD 【分析】设，可得，即得，根据对数运算可知，所以可以确定，又为整数，即可得可能的取值情况. 【详解】解：设，则， 所以，则． 因为，所以， 又，所以．因为为整数，所以为偶数，则为奇数． 故选：ACD. 10．AD 【分析】根据题意求出、和，再根据对数的运算性质判断选项中的命题是否正确． 【详解】若，，， 则，，， 所以，选项A正确； ，选项B错误； 由，当且仅当时取等号，又，， 所以等号不成立，即，选项C错误； 由，选项D正确． 故选：AD 11．AC 【分析】由指数式与对数式关系化为对数式，再由对数的运算法则判断． 【详解】设 则，，， ，即，C正确； 所以，A正确，B错误； ，， ，即，D错． 故选：AC． 12．BCD 【解析】根据对数的运算法则及对数的性质以及换底公式一一计算可得； 【详解】解：因为，，，， 对于A：，故A错误