专题二十六 分式方程的解法、增根、无解等问题（26）讲义2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十六 分式方程的解法、增根、无解等问题 类型一、分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： 1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例1-1】解方程： （1）； （2）． 【例1-2】解下列分式方程： ． 【例1-3】阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程：﹣＝0 解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2 都是方程y﹣＝0的解， ∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝． 经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： （1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　； （2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0． 针对练习1 1．分式方程的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．无解 2．嘉淇解分式方程的过程如下： 解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）① 去括号，得6＝2x﹣3x﹣3② 移项、合并同类项，得x＝﹣9③ 因为x＝﹣9时，各分母均不为0， 所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④ 以上步骤中，最开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．解分式方程： （1）； （2）． 4．阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程：﹣＝0 解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2 都是方程y﹣＝0的解， ∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝． 经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： （1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　； （2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 解方程（）2﹣6（）+5＝0 解：令＝y，代入原方程后，得： y2﹣6y+5＝0 （y﹣5）（y﹣1）＝0 解得：y1＝5，y2＝1 ∵＝y ∴＝5或＝1 ①当＝5时，方程可变为： x＝5（x﹣1） 解得x＝ ②当＝1时，方程可变为： x＝x﹣1 此时，方程无解 检验：将x＝代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边＝右面 ∴x＝是原方程的根 综上所述：原方程的根为：x＝ 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+＝0． 类型二、分式方程的增根 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 【例2-1】解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值． 【例2-2】关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 针对练习2 1．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 3．已知关于x的方程有增根，求m的值． 4．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 5．已知关于x的方程． （1）当k＝1时，求该方程的解； （2）若方程有增根，求k的值． 类型三、分式方程无解 分式方程无解可以从以下两种情况去考虑： （1） 转化成的整式方程无解； （2） 分式方程转化成整式方程有解，但这个解使最简公分母为0 【例3-1】（1）当m为何值时，方程+＝会产生增根． （2）当m为何值时，方程+＝无解． （3）已知关于x的方程﹣2＝的解为正数，求m的取值范围． 【例3-2】（1）当a为何值时，方程有增根？ （2）当a为何值时，方程无解？ 针对练习3 1．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同类项得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程无解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移项，合并同类项得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝， ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴