专题二十五 分式的求值技巧（25）期末培优专题复习讲义 2023－2024学年人教版数学八年级上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十五 分式的求值技巧 类型一、利用分式的基本性质求值 分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为: 其中A,B,C为整式,且B、C≠0。 【例1-1】若,求的值= . 【例1-2】.已知x2﹣4xy+4y2=0,那么分式的值等于多少? 【例1-3】.已知,求分式的值. 针对练习1 1.已知+=3,求的值. 2.阅读下列解题过程,然后解题: 题目:已知(a、b、c互不相等),求x+y+z的值. 解:设,则x=k(a﹣b),y=k(b﹣c),z=k(c﹣a), ∴x+y+z=k(a﹣b+b﹣c+c﹣a)=k•0=0,∴x+y+z=0. 依照上述方法解答下列问题: 已知:,其中x+y+z≠0,求的值. 3.已知:,求代数式的值. 4.已知:=2,求的值. 5.已知a+=5,求的值. 6.阅读材料题: 已知:==,求分式的值. 解:设===k,则a=3k,b=4k,c=5k,所以===. 参照上述材料解题: (1)已知==,求分式的值. (2)已知==,其中x+y+z≠0,求的值. 类型二、分式化简求值 按分式的运算顺序(先乘方再乘除,最后加减,有括号先算括号内)先化简,再代入求值。 代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0. 【例2-1】先化简,再求值:,其中a=5. 【例2-2】先化简,再从﹣2,2,4,0中选择一个合适的数代入求值. 【例2-3】先化简,再求值:,然后从0,1,2,3中选择一个合适的m的值,代入求值. 针对练习2 1.先化简,再求值:,其中a=﹣1. 2.先化简分式,再代入求值:,其中a是﹣1<a≤2的整数. 3.先化简:,再从﹣1,0,1,2中取一个合适的数作为a的值代入求值. . 类型三、整体代入求值 【例3-1】先化简,再求值:,a满足a2+a﹣3=0. 【例3-2】先化简再求值:,其中x2+3x﹣5=0. 【例3-3】先化简,再求值:,其中x满足x2+3x﹣4=0. 针对练习3 1.已知(a+b)2=4,(a﹣b)2=8,则的值等于 ( ) A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12 2.如果a+2b=2,那么代数式的值是( ) A.﹣2 B.2 C. D. 3.已知a2﹣a﹣3=0,求代数式的值. 4.先化简,再求值:(x﹣) ,其中x满足x2+x﹣5=0. 5.先化简,再求值:,其中x满足x2﹣2x﹣2=0. 类型四、倒数法求值 所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的. 【例4-1】在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题. 材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的. 例:已知:,求代数式x2+的值. 解:∵,∴=4即=4 ∴x+=4∴x2+﹣2=16﹣2=14 材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“k”,将连等式变成几个值为k的等式,这样就可以通过适当变形解决问题. 例:若2x=3y=4z,且xyz≠0,求的值. 解:令2x=3y=4z=k(k≠0)则x=,y=,z=,∴ 根据材料回答问题: (1)已知,求x+的值. (2)已知(abc≠0),求的值. (3)若,x≠0,y≠0,z≠0,且abc=5,求xyz的值. 【例4-2】例:已知,求代数式的值. 解:∵, ∴,即, ∴, ∴. 根据材料回答问题: (1)若,求的值; (2)在(1)条件下求的值; (3)已知,求的值. 【例4-3】用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回字”正方形. (1)用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积,并用等号连接; (2)若a>b,利用(1)中的等式计算a+b=1,ab=,求(a﹣b)2的值; (3)若x2﹣3x+1=0,利用(1)中的等式,求x﹣的值. 针对练习4 1 .已知:,求,的值. 2.阅读理解:已知:x2﹣3x+1=0,求的值. 解:因为x2﹣3x+1=0,所以:x2+1=3x. 又因为x≠0,所以. 所以,即,所以. 请运用以上解题方法,解答下列问题: 已知,求下列各式的值: (1); (2). 3 ..在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算求值的目的. 例:已知,求代数式x2的值. 解:∵,∴5即5,∴x5. (1)请继续完成上面问题的求值过程; (2)请仿照上述方法解决问题:已知4,求的值. 4 .阅读下列解题过程: 已知,求的值. 解:由,知x≠0,所以