5.3.1 函数的单调性（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 （第2课时） 复习回顾 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 2.在区间(a,b)上f ′(x)>0是函数f (x)在区间(a,b)上为增函数的充要条件吗？ 充分不必要条件. 二次函数是一类重要的函数，之前我们已经学习过二次函数的单调性，而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊而重要的函数，那么三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究. 新知探究 解： x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间， f ′(x)在各个区间的正负，以及f (x) 的单调性如表所示： x (－∞, －1) －1 (－1, 2) 2 (2, +∞) f′(x) f(x) x y O -1 1 • 2 • 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 方法总结 注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式． 变式1.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间. 解: 若a>0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾. 若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a<0,则 ,易知此时f(x)恰有三个单调区间. 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: 单调递减区间: 和 变式练习 解析　易知f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在R上单调递增， 所以f′(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立， 故a≤(3x2)min＝0. 经检验，当a＝0时，符合题意， 故实数a的取值范围是(－∞，0]． 变式2.已知函数f(x)＝x3－ax－1(a∈R)．若函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围为________. 变式3. 解析　因为f′(x)＝x2－3x＋a，又 函数f(x)的单调递减区间为[－1,4]， 所以－1,4是方程f′(x)＝0的两根． 所以a＝－1×4＝－4. 例2. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性． (1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间上的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结． (2)求含参函数y＝f(x)的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0. 感悟提升 讨论含参函数的单调性的关键点: 巩固练习 13 探究:研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. x y O (2) x y O 1 • (1) 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. x y O (2) x y O 1 • (1) 导数的绝对值变化 函数图象变化趋势 变大 “陡峭” 变小 “平缓” x y O 解： B 巩固练习 1.函数单调性与导数符号的关系是： 2.判定函数单调性的步骤： 课堂小结 3.如何判断函数变化的快慢？ 定义域优先：解决问题的过程只能在定义域内； 单调区间之间不能用“∪”连接，只能用“，” 或“和”字隔开； 注意“临界点”和间断点. [解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0， 解得x1＝0，x2＝－eq \f(2a,3). ①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； ②当a>0时，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2a,3)))∪(0，＋∞)， 则f′(x)>0，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\