2024年中考数学圆训练专题-综合题型（一）

2024年中考数学圆训练专题-综合题型（一） 1．（2023·衢州）如图，在Rt中，为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点，交AC边于点. （1）求证：. （2）若. ①求半圆的半径. ②求图中阴影部分的面积. 2．（2023·大庆）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 3．（2023·宁夏）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 4．（2023·雅安）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 5．（2023·黄冈）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 6．（2023·营口）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 7．（2023·通辽）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径． 8．（2023·绥化）如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，. （1）求证：. （2）求证：. （3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长. 9．（2023·陕西）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 10．（2023·荆州）如图，在菱形ABCD中，于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA； （2） 若AB=5，DB=6 ，求． 11．（2023·聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 12．（2023·广元）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学圆训练专题-综合题型（一） 解析 1．【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD. ∵BD是圆O的切线，D为切点， . ， 且， Rt. ； 【方法二】证明：，点C在圆O上， ∴BC是圆O的切线. ∵BD是圆O的切线， ； （2）解：①如图，连结OD， ∵OB=OA， ∴∠OBD=∠A， ， . . ， . 在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°， ∴AO=2OD， 又∵OD=OE，AO=OE+AE， ∴OE=AE=2， ∴半圆O的半径为2； ②在Rt中，. . ， . 2．【答案】（1）连接 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）证明，如下： 由（1）得，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， 设的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．【答案】（1）证明：连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：连接，过点O作于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 4．【答案】（1）证明：连接，如图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，，即：， ∴（负值以舍去）， ∴； （3）解：设的边高为， 由（2）可知， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，也取最大值， 又∵， ∴当取最大值时，取最大值， 此时边高为取最大值为半径， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述：的最大值为． 5．【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵以为直径的交于点，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．【答案】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线； （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去），