2024年中考数学圆训练专题-综合题型（二）

2024年中考数学圆训练专题-综合题型（二） 1．（2023·枣庄）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E． （1）求证：是切线； （2）若，求的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 2．（2023·怀化）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D，求证：； （3）若，求阴影部分的面积． 3．（2023·武威）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为，时，求的长． 4．（2023·苏州）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 5．（2023·广安）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． （3）求证：． 6．（2023·南充）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 7．（2023·眉山）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 8．（2023·安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 9．（2023·遂宁）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 10．（2022·南京）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的半径长． 11．（2022·宁夏）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 12．（2022·黄石）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学圆训练专题-综合题型（二） 解析 1．【答案】（1）证明：连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 2．【答案】（1）证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接 在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； （2）证明：∵是的切线； ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 3．【答案】（1）证明： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，得， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．【答案】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 5．【答案】（1）证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2）解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得， ， ， 即． 6．【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示： 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴． 7．【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解： 设，则， ，解得， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ． 8．【答案】（1）解：∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 9．【答案】（1）证明：连接，，如图： ∵， ∴， ∵四边形内接于，为的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又