专题05 抽象函数及应用9种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题05 抽象函数及应用9种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 抽象函数的定义域问题 考点二 抽象函数的值域问题 考点三 “赋值法”求抽象函数的值 考点四 “赋值法”求抽象函数的解析式 考点五 抽象函数的奇偶性问题 考点六 抽象函数的单调性问题 考点七 解抽象不等式 考点八 抽象函数的周期性问题 考点九 抽象函数的对称性问题 1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征. 2.常见函数模型 抽象函数形式 具体化函数 或 幂函数 或 对数函数 或 指数函数 正比例函数 一次函数 余弦函数 3.“赋值法”求抽象函数的值 赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1, -1等),从而使问题获得简捷有效的解决。 注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等. （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取. （3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）. 4.“赋值法”求抽象函数的解析式 赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题 设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。 5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性 判断抽象函数的奇偶性的关键是得到与的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留与的关系。 注：证明抽象函数的奇偶性实质就是赋值，分析出赋值规律. （1）可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， （2）尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等。 （3）通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 6.利用“配凑法”证明抽象函数的单调性 配凑法就是通过恰当的拼与凑，使问题明了化、简单化，从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法，体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件，结合单调性的定义进行转化求解的。具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 注：证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” （2）构造“积” （3）利用构造 （4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造 示例如下： （一）特征式 例1．已知函数对一切实数、都有，且当时，，又，求在上的最大值和最小值． （二）特征式f(x＋y)＝f(x)f(y) 例2．设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)． (1)求f(0)的值； (2)证明：f(x)在R上是减函数． （三）特征式 例3．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.判断并证明函数在上的单调性. （四）特征式 例4．已知定义在区间上的函数f(x)满足，且当时，. (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性. （五）特征式 例5．定义在上的函数满足条件：对所有正实数x，y成立，且，当时，有成立． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）证明：函数在上为单调递增函数． 7.“定义法”解抽象函数不等式 解抽象函数不等式，可利用函数单调性的定义，如“已知函数是增函数，若 则 ”， “脱去”函数符号后即可求解，当然，还要注意自变量范围的约束。 8.抽象函数的周期性和对称性 （1）由函数奇偶性得到函数图象对称性，再得到函数周期性. ①若定义在R上的奇函数f (x)的图象关于直线x = a(a ≠ 0)对称，则f (x)是周期函数，且4|a|为其一个周期. ②若定义在R上的偶函数f (x)的图象关于点A(a, 0)(a ≠ 0)对称，则f (x)是周期函数，且4|a|为其一个周期. 如：已知函数f (x)的定义域为R，若f (x − 1)，f (x + 1)均为奇函数，则f (x)的一个周期为4. 已知函数f (x)的定义域为R，若f (x − 1)，f (x + 1)均为偶函数，则f (x)的一个周期为4. 已知函数f (x)的定义域为R，若f (x − 1)为奇函数， f (x + 1)为偶函数，则f (x)的一个周期为8. （2）由周期性和奇偶性，得到函数图象的对称性.