14.3 因式分解——常用方法 讲义 2023-2024学年人教版数学八年级上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十 因式分解常用方法 因式分解常用方法有提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法，添项拆项法，配方法等等，因式分解是初中代数重要内容之一,它在化简、求值、方程、不等式及函数等都起着及其重要作用。 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 运用公式法：如果多项式是满足平方差公式或者完全平方公式则利用公式特点写成平方差公式或者完全平方公式.即a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2 十字相乘法： ． ． 分组分解法：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法． 配方法 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 1、 提公因式法 【例1-1】分解因式：． 【例1-2】分解因式： 针对练习1 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；    2、 运用公式法 【例2-1】先分解因式，再求值： (1)，其中，； (2)已知，，求的值； (3)利用简便方法计算：． 【例2-2】阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： (1)因式分解： (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【例2-3】观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 针对练习2 1．因式分解： ． 2．已知，且满足两个等式，则的值为 ． 3．因式分解： (1) (2) 4．因式分解 (1)； (2) 5．把下列各式因式分解： (1)； (2) 3、 十字相乘法 【例3-1】阅读理解题 在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解， 基本式子为：， 例如：分解因式，，， 按此排列：    交叉相乘，乘积相加等于， 得到，这就是十字相乘法． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先分解因式，再求值：，其中． 【例3-2】提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 针对练习3 1．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： (1)； (2)． 2．【学习材料】十字相乘法 对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而， 而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式 例：分解因式： 解：如图3，其中，，，而，，， 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ． (2)分解因式：______ ； ______ ； (3)若且，求代数式的值． 3．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 4．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利