1.3 勾股定理的应用 讲义 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 知识梳理 1、勾股定理的证明 　　方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　图（1）中，所以. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　，所以. 2、勾股定理的应用 　　1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 　　2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 　　3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 基础训练 一、单选题 1．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）． A．13 B．17 C．18 D．25 2．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 3．如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．已知圆柱形茶杯的高为12厘米，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在杯子口外的长度是x厘米，则x的取值范围是（ ）厘米． A．无法确定 B． C． D． 6．下列命题中真命题的个数（　　） （1）已知直角三角形面积为4，两直角边的比为1：2，则它的斜边为5； （2）直角三角形的最大边长为26，最短边长为10，则另一边长为24； （3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1； （4）等腰三角形面积为12，底边上的底为4，则腰长为5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 （ ） A．2．5 B．3 C．4 D．5 8．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（  ） A．2m B．4m C．6m D．8m 9．如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1，S2+S3之间的关系是（　　） A．S1＞S2+S3 B．S1=S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定 10．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）cm． A．25 B．20 C．24 D．10 二、填空题 11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=5，CD=3，则△ABC的周长是_____． 12．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是_______mm． 13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为__________． 14．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 15．如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，AB=7，BC=5，CG=5，则这只蚂蚁爬行的最短距离为__． 三、解答题 16．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高． 17．某人欲从点A横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离预到达点B240m，结果他在水中实际游了510 m．求该河的宽度． 18．木工师傅做一个人字形屋梁,如图所示,上弦AB=AC=4m,跨度BC为6m,现有一根长为3m的木