5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 5.5.1 第二课时 学习目标 1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系.(逻辑推理) 2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的 化简、求值.(数学运算) 思维导图 复习回顾 上节课我们利用圆的选转对称性推导出两角差的余弦公式，请同学们在回顾推导过程的基础上写出差角的余弦公式. 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系. 思考 由两角差的余弦出发，你能不能推导出两角和的余弦公式？ 探究新知 思路1：比较,它们的异同点是什么？ 思路2：之间有何种关系？ 它们都是角的余弦，知识角的形式不同. 从运算的角度看，将加法转化为减法：即 基于上述差异与联系，如何由两角差的余弦公式得到 两角和的余弦公式 即 你能根据两角和与差的余弦公式推导出用任意角的 正弦、余弦表示的公式吗？ 即 依照上述解决问题的思路，你能直接写出 两角和的正弦公式和正切公式吗？ 知识梳理 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 α，β∈R 两角差的余弦 α，β∈R 两角和的正弦 α，β∈R 两角差的正弦 α，β∈R 两角和的正切 两角差的正切 两角和与差的正弦公式 记忆口诀: 正余余正,符号相同. 正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦; 符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接 符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”. 两角和与差的正切公式 公式的右边为分式形式,其中分子为tan α,tan β的和或差.分母为1与tan αtan β的差或和.公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同,与分母上的加减号相反. 符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. 当α,β,α±β角的正切值不存在时,不能使用上述公式,但可以用诱导公式或其他方法解题. 题型探究 题型一. 给角求值 (5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24° =1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24° =1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24° =1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2. 同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2, ∴原式=2×2=4. 两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把sin(α±β)从左向右展开． (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时， 要用相关公式调节后再逆用． (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角 的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝ (α＋β)＋(α－β)． 题型探究 题型二. 给值求值 ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) 所以sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β) 给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当 地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化 异角为同角,具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为“已知两角”的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把“所求角”转化为“已知角”. 题型探究 题型三. 给值求角 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 两角和与差的正切公式的变形及常见结论 1.公式的变形 (1)两角和的正切公式的变形 ③tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β). (2)两角差的正切公式的变形 小试牛刀 4. 化简:cos βcos(α-β)-sin βsin(α-β)=　　　　　.  答案：DAA - 本 课 结 束 例1. 化简下列各式: (1); (2)cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°); (3)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°; (4)(tan 10°-)·; (5)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°). 解 (1)原式= = =. (2)原式=cos[(x+27°)-(x-18°)]=cos 45°=. (3)∵=tan(12°+33°)=ta