2024年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件 专题十 动态问题

第二部分 专题复习 专题十 动态问题 (2023·洛阳一模)如图1，在等边三角形ABC中，点D为AC的中点，点P从点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动到点C，设点P的运动时间为x，△APD的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB的长为 　4　 ⁠． 4　 ⁠ ⁠ 如图，在Rt△ABC中，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由点A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s，连接PQ，设运动的时间为t(s)，其中0＜t≤2.解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ∥BC? 解：(1)在Rt△ABC中，AB＝＝5. 由题意，得BP＝t，AP＝5－t，AQ＝2t. ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC． ∴＝，即＝.∴t＝. ∴当t＝时，PQ∥BC． (2)设△APQ的面积为S(cm2)，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． (2)如图1，过点P作PH⊥AC于点H.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC． ∴PH∥BC．∴△APH∽△ABC． ∴＝.∴＝.∴PH＝3－t. ∴S＝AQ·PH＝×2t·(3-t)＝－t2＋3t＝－ ＋. ∵0<t≤2，∴当t为2时，S最大，最大值为 cm2. (3)当t为何值时，以点P，Q，A为顶点的三角形与△ABC相似？ (3)分两种情况： ①如图2，当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC． ∴＝，即＝.解得t＝. ②如图3，当∠APQ＝90°时，△AQP∽△ABC． ∴＝，即＝.解得t＝. 综上所述，t的值为或时，以点P，Q，A为顶点的三角形与△ABC相似． (4)点P，Q在运动的过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由． (4)△APQ能成为等腰三角形．分三种情况： ①如图4，当AP＝AQ时，5－t＝2t.解得t＝. ②如图5，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于点M. ∴∠AMP＝90°，AM＝QM＝AQ＝t. ∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC． ∴△APM∽△ABC．∴＝，即＝. 解得t＝(不符合题意，舍去)． ③如图6，当PQ＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于点N. ∴∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝AP＝(5－t). 又∠NAQ＝∠CAB，∴△ANQ∽△ACB． ∴＝，即＝.解得t＝. 综上所述，当t的值为或时，△APQ能成为等腰三角形． ⁠ ⁠ (广东中考)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图，连接BC． (1)填空：∠OBC＝ 　60　 ⁠°； 60　 解：(1)提示：由旋转的性质，得OB＝OC，∠BOC＝60°. ∴△OCB是等边三角形． ∴∠OBC＝60°. (2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为点P，求OP的长； (2)∵∠OAB＝90°，OB＝4，∠ABO＝30°， ∴OA＝OB＝2，AB＝OB·cos 30°＝2. 由旋转的性质，得△OCB是等边三角形． ∴BC＝OB＝4，∠OBC＝60°. ∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝90°. ∴AC＝＝2. ∴S△AOC＝OA·AB＝AC·OP. ∴OP＝＝. ∴OP的长为. (3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，点M沿O→C→B路径匀速运动，点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位长度/秒，点N的运动速度为1单位长度/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？ (3)①当0<x≤时，点M在OC上运动，点N在OB上运动， 如答图1，过点N作NE⊥OC于点E， 则ON＝x，OM＝1.5x，∠NOE＝60°，∠NEO＝90°. ∴OE＝x，NE＝ON·sin 60°＝x. ∴y＝OM·NE＝×1.5x·x＝x2. ∵＞0，0＜x≤，∴y随x的增大而增大． ∴当x＝时，y有最大值，最大值为. ②当<x≤4时，点M在BC上运动，点N在OB上运动， 如答图2，过点M作MH⊥OB于点H， 则ON＝x，∠HBM＝60°，∠BHM＝90°，BM＝8－1.5x. ∴MH＝BM·sin 60°＝(8－1.5x)． ∴y＝ON·MH＝x·(8－1.5x)＝－x2＋2x＝－ ＋. ∵－＜0，∴当x＝时，y有最大值. ∵x＞，∴y最大值＜. ③当4<x≤时，如答图3，点M，N都在BC上运动， 过点O作OG⊥BC于点G，则MN＝12－2.5x，OG＝AB＝2. ∴y＝OG·MN＝×2×(12－2.5x)＝12-) x. ∵－＜0，∴y随x的增大而减小． ∴当x＝4时，y有最大