2024年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件 专题九 二次函数的综合

第二部分 专题复习 专题九 二次函数的综合 1．(2023·河源一模)关于二次函数y＝－(x－1)2＋3的最值，说法正确的是(　D　) A．最小值为－1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 D 2．如图，抛物线y＝－x2＋x＋6与直线y＝3x＋7有唯一交点A(－1，4)．若抛物线与x轴的交点分别为点M，N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA＋PM的值最小？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 解：存在点P，使PA＋PM的值最小． 当y＝0时，－x2＋x＋6＝0. 解得x1＝3，x2＝－2.∴M(－2，0)，N(3，0)． ∵y＝－x2＋x＋6＝－ ＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝. ∵点M，N关于对称轴x＝对称，∴PM＝PN. ∴PA＋PM＝PA＋PN≥AN. ∴当A，P，N三点共线时，PA＋PM有最小值． ∵AN＝＝4， ∴PA＋PM的最小值为4. ⁠ ⁠ (2023·枣庄改编)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两点，并交x轴于另一点B． (1)求该抛物线的表达式． (1)解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两点， ∴解得 ∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)如图，已知点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D，点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的最小值． (2)解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点M(1，4)． 设直线AM的解析式为y＝kx＋d，则解得 ∴直线AM的解析式为y＝2x＋2. 当x＝0时，y＝2，∴D(0，2)． 作点D关于x轴的对称点D′(0，－2)，连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H. ∴MH＋DH＝MH＋D′H≥D′M，即MH＋DH的最小值为D′M的长． ∵D′M＝＝. ∴MH＋DH的最小值为. (3)如图，已知第一象限内的抛物线上有一动点P，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，连接BC交PN于点Q.依题意补全图形，当PQ＋CQ的值最大时，求点P的坐标． 解：∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴B(3，0)． ∵C(0，3)，易求得yBC＝－x＋3，∠OCB＝45°. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则Q(m，－m＋3)． ∴PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m. 如图，过点Q作QK⊥OC，垂足为点K， 则△CKQ是等腰直角三角形． ∴CQ＝m. ∴PQ＋CQ＝－m2＋3m＋2m＝－m2＋5m＝- ＋. ∴当t＝时，PQ＋CQ有最大值． 此时点P的坐标为(，). (4)如图，已知抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，第一象限内的抛物线上有一动点P，若连接BC，OP，交点为S，则的最大值是多少？并求出此时点P的坐标． 解：如图，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点Q，则PN∥OC． ∴△PSQ∽△OSC．∴＝. 设P(m，－m2＋2m＋3)，易得Q(m，－m＋3)． ∴PQ＝yP－yQ＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m. ∴＝＝＝－ ＋. ∴当m＝时，取最大值，此时点P的坐标为( ，). (5)如图，已知第一象限内的抛物线上有一动点P，连接BC，CP和BP，则△BCP面积的最大值是多少？并求出此时点P的坐标． 解：如图，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点Q. 设P(m，－m2＋2m＋3)，易得Q(m，－m＋3)． ∴PQ＝yP－yQ＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m. ∴S△BCP＝S△CPQ＋S△BPQ＝PQ·ON＋PQ·BN＝PQ(ON＋BN) ＝PQ·OB＝(－m2＋3m)×3＝- ＋. ∴当m＝时，S△BCP取最大值，此时点P的坐标为(，). (6)如图，抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：依题意，得S△ABP＝AB·|yP|，S△ABC＝AB·|yC|. ∵S△ABP＝S△ABC，∴|yP|＝|yC|＝1.∴yP＝±1. 当yP＝1时，－x2＋2x＋3＝1.解得x＝1±. 当yP＝－1时，－x2＋2x＋3＝－1.解得x＝1±. 综上，点P的横坐标为1＋或1－或1＋或1－. (7)如图，过点A与抛物线顶点M的直线交y轴于点D．若点P是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点G，使得以点D，M，P，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解：对称轴上存在点Q，使得以点D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形． 由(2)，得D(0，2)，M(1，4)． 设P(m，－m2＋2m＋3)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴G(1，n)． 当DM，PG为