2024年广东省九年级中考数学一轮知识梳理复习课件微专题3 全等模型——一线三等角

第五章 三角形 微专题3 全等模型——一线三等角 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°. ∴∠BAE＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED． 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(AAS)．∴AB＝EC，BE＝CD． ∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC． ⁠ ⁠ 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝ED．求证：AB＋CD＝BC． ⁠ ⁠如图，AB＝CD，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6 cm，DE＝2 cm，则BD＝(　B　) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．4 cm B ⁠ ⁠如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD＝2.5 cm，BE＝0.8 cm，则DE的长为 　1.7 cm　 ⁠． 1.7 cm　 ⁠ ⁠如图1、图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标． 解：如图1，过点B作BD⊥x轴于点D． ∴∠BCD＋∠DBC＝90°. 由等腰直角三角形ABC可知，BC＝CA，∠ACB＝90°. ∴∠BCD＋∠OCA＝90°.∴∠DBC＝∠OCA． 在△BCD和△CAO中， ∴△BCD≌△CAO(AAS)．∴CD＝AO，BD＝CO. ∵AO＝3，CO＝2，∴CD＝3，BD＝2.∴OD＝5.∴B(－5，2)． 如图2，过点A作AD⊥y轴于点D． 同理可得∠DAC＝∠OCB． 在△ACD和△CBO中， ∴△ACD≌△CBO(AAS)．∴CD＝BO，AD＝CO. ∵B(－1，0)，C(0，3)，∴BO＝1，CO＝3. ∴CD＝1，AD＝3. ∴DO＝2.∴A(3，2)． 【模型归纳】 模型特点 三个直角的顶点在同一条直线上 模型展示 已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE ⁠ ⁠ 已知：AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，AB＝BC ⁠ ⁠ 结论 ①∠CAB＝∠DCE，∠ACB＝∠CDE，△ABC≌△CED；②BE＝AB＋DE；③连接AD，△ACD是等腰直角三角形 ①∠A＝∠DBC，∠ABE＝∠C，△ABE≌ △BCD；②DE＝AE－CD ⁠ ⁠ 如图，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°.求证：BD＋CE＝DE. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAC＝60°. ∴∠DAB＋∠CAE＝120°. ∵∠ADB＝∠CEA＝60°， ∴∠ABD＋∠DAB＝120°. ∴∠ABD＝∠CAE. ∴△ABD≌△CAE(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE. ⁠ ⁠如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE＝(　A　) A A．3 B．2 C． D． ⁠ ⁠如图，点B，C，D在同一条直线上，点A和点E在BD的同侧，且AB＝CD，∠ACE＝∠B＝∠D．若DE＝2，AB＝3，则BD的长为 　5　 ⁠． 5　 ⁠ ⁠(2023·黄冈)如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝  　　 ⁠． 　 【解析】如图，在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F. ∵点C的坐标为(7，h)，∴OF＝7，CF＝h. 在Rt△CEF中，∠CEF＝180°－∠AEC＝60°，CF＝h，∴EF＝＝h，CE＝＝h. ∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝60°. 又∠BAD＋∠ABD＝60°，∴∠CAE＝∠ABD. ∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD(AAS)． ∴AD＝CE＝h，AE＝BD.∵点A(3，0)，∴OA＝3. ∴OD＝OA－AD＝3－h. ∴在Rt△BOD中，∠BDO＝180°－∠ADB＝60°，BD＝＝＝23－h＝6－h. ∴AE＝BD＝6－h. ∵OA＋AE＋EF＝OF，∴3＋6－h＋h＝7. 解得h＝. 【模型归纳】 模型特点 三个等角(∠1＝∠2＝