2024年广东省九年级中考数学一轮知识梳理复习课件微专题9 矩形中的折叠问题

第八章 图形与变换 微专题9 矩形中的折叠问题 常见折叠问题分类 ⁠ ⁠ 解决折叠问题技巧 一个本质＋二项归类 1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； 2．折痕可看作垂直平分线：折痕垂直平分连接两个对应点的线段； 3．折痕可看作角平分线：对称线段所在的直线与折痕的夹角相等 一种思想 方程思想 ⁠ ⁠ 在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4.如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠CFG＝62°，则∠BFE＝ 　59　 ⁠°. 59　 ⁠ ⁠把一个长方形纸片按照如图所示方式折叠，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′.若∠AOB′＝50°，则∠DGC′＝ 　50　 ⁠°. 50　 ⁠ ⁠如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点D落在点F处，AF交BC于点E.若AB＝3，BC＝5，求图中阴影△AEC的面积． 解：由翻折的性质，得∠FAC＝∠CAD． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC． ∴∠ACE＝∠CAD．∴∠FAC＝∠ACE. ∴AE＝CE. 设CE＝x，则AE＝x，BE＝5－x. 在Rt△ABE中，32＋(5－x)2＝x2. 解得x＝. ∴S△AEC＝××3＝. 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的外部． 结论： (1)线段关系： AB＝ 　AB′　 ⁠， BC＝ 　B′C　 ⁠＝AD； AB′　 B′C　 (2)角度关系： ∠B＝ 　∠B′　 ⁠， ∠BCA＝ 　∠B′CA　 ⁠； ∠B′　 ∠B′CA　 (3)全等关系： 　△ABC　 ⁠≌△AB′C， △AB′F≌ 　△CDF　 ⁠； (4)常用的特殊三角形： △CFD和△AFB′都是 　直角　 ⁠三角形，△AFC是 　等腰　 ⁠三角形； △ABC　 △CDF　 直角　 等腰　 (5)折痕AC可看作∠BCB′的 　角平分线　 ⁠，连接BB′，则AC是BB′的 　垂直平分线　 ⁠. 角平分线　 垂 直平分线　 ⁠ ⁠ 如图，在矩形ABCD中，点P是AB边上的一点，将△PBC沿PC折叠，使点B落在AD上点B′处，若AB＝3，BC＝5，则AP的长为 　　 ⁠． 　 ⁠ ⁠(广东中考)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B′处，则BE的长为(　D　) A．1 B． C． D．2 D ⁠ ⁠如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上的点F处，若tan ∠ABE＝，AD＝3，则DF的长为 　1　 ⁠． 1　 ⁠ ⁠ 如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝  ⁠． －1 ⁠ ⁠ 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan ∠HAP＝ 　　 ⁠． 　 ⁠ ⁠ 在矩形ABCD中，点E是BC边上一点．如图，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点F落在矩形内部，且D，E，F三点共线，若AD＝10，tan ∠EAF＝，则矩形ABCD的面积为 　60　 ⁠． 60　 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的某一条边上． 结论： (1)线段关系： BP＝ 　B′P　 ⁠， BC＝ 　B′C　 ⁠； B′P　 B′C　 (2)角度关系： ∠B＝ 　∠CB′P　 ⁠， ∠BPC＝ 　∠B′PC　 ⁠， ∠BCP＝ 　∠B′CP　 ⁠； ∠CB′P　 ∠B′PC　 ∠B′CP　 (3)全等关系： △BCP≌ 　△B′CP　 ⁠； (4)相似关系： △AB′P∽ 　△DCB′　 ⁠； (5)折痕PC可看作∠BCB′的 　角平分线　 ⁠，连接BB′，则PC是BB′的 　垂直平分线　 ⁠． △B′CP　 △DCB′　 角平分线　 垂 直平分线　 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的内部． 结论： (1)线段关系： BP＝ 　B′P　 ⁠， BC＝ 　B′C　 ⁠； (2)角度关系： ∠B＝ 　∠CB′P　 ⁠， ∠BCP＝ 　∠B′CP　 ⁠， ∠APB′