2024年广东省九年级中考数学一轮知识梳理复习课件微专题7 正方形中的“十字架”模型

第六章 四边形 微专题7 正方形中的“十字架”模型 ⁠ ⁠ (1)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF.AE与BF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：AE＝BF且AE⊥BF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°. ∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. ∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°.∴AE⊥BF. 证明：如图，过点G作GP⊥BC于点P. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°. ∴四边形ABPG是矩形． ∴PG＝AB．∴PG＝BC． ∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠EBC＋∠GFP＝90°，∴∠BEC＝∠GFP. ∵∠BCE＝∠GPF＝90°，∴△CBE≌△PGF(AAS)． ∴BE＝GF. (2)如图所示，在正方形ABCD中，点E是边CD上的点(点E不与点C，D重合)，连接BE，点M是BE上的点，过点M作GM⊥BE交BC于点F，交AD于点G，求证：BE＝GF. ⁠ ⁠如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：AE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵∠AOB＝180°－∠AOF＝90°， ∴∠BAE＋∠OBA＝90°. ∵∠CBF＋∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF. 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF. ⁠ ⁠如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E处，使DE＝5，若折痕为PQ，则PQ的长为(　A　) A．13 B．14 C．15 D．16 A ⁠ ⁠(2023·长春二模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是 　　 ⁠． 　 ⁠ ⁠ 一题多解如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF∶FC的值为 　2　 ⁠． 2　 【解析】法1：如图1，过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线相交于点M，延长BF交MC于点G. ∵∠ABC＝90°，BA＝BC，∴四边形ABCM为正方形． ∴∠ABC＝∠BCG＝90°.∴∠ABE＋∠GBC＝90°. 又∵BE⊥AD，∴∠ABE＋∠DAB＝90°. ∴∠GBC＝∠DAB.∵AB＝BC，∴△GBC≌△DAB(ASA)． ∴CG＝BD.∵点D为BC边上的中点，∴AB＝2BD. ∵AB∥MC，∴∠BAF＝∠GCF，∠ABF＝∠CGF. ∴△ABF∽△CGF.∴＝＝＝2. 法2：如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G. ∵BE⊥AD，CG⊥AD，∴BE∥CG. ∴△BDE∽△CDG.∴＝. ∵点D为BC边上的中点，∴BD＝CD.∴DE＝DG. 设AB＝BC＝2x，则BD＝CD＝BC＝x. ∵∠ABC＝90°，∴在Rt△ABD中，AD＝＝x. ∵cos ∠BAD＝＝＝＝，∴AE＝AB＝x. ∴DE＝AD－AE＝x.∴EG＝2DE＝x. ∵EF∥CG，∴＝＝2. ⁠ ⁠如图，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4，则GH的长为 　8　 ⁠． 8　 ⁠ ⁠(2023·西安模拟)如图，点M，N分别是正方形ABCD的边CD，CB上的动点，满足DM＝CN，AM与DN相交于点E，连接CE，若正方形的边长为2，则线段CE的最小值是  　－1　 ⁠． －1　 【解析】如图，取AD中点为点O，连接OE，OC. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠DCB＝90°. ∵DM＝CN，∴△ADM≌△DCN(SAS). ∴∠CDN＝∠DAM. ∵∠CDN＋∠ADN＝90°，∴∠DAM＋∠ADN＝90°. ∴∠AED＝90°. ∴点E是以AD为直径的圆上一点． ∵正方形ABCD的边长为2，点O是AD的中点， ∴CD＝2，OD＝OE＝1. ∴OC＝＝. ∵CE≥OC－OE＝－1，∴线段CE的最小值为－1. 【模型归纳】 (1)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CD，AD上的两点，则有AE⊥BF⇔ AE＝BF(互逆) ⁠