2024年 广东省中考专用数学一轮知识梳理复习微专题5 全等模型——倍半角课件

第五章 三角形 微专题5 全等模型——倍半角 ⁠ ⁠ 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°.求证：BE＋DF＝EF. 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，则AB与AD重合． ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE. ∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF ＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝45°. ∴∠EAF＝∠GAF. 在△AGF和△AEF中， ∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴GF＝EF. ∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF. ⁠ ⁠如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF＝3，则BE的长为 　2　 ⁠. 2　 ⁠ ⁠如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点E在线段BC上，动点D在线段CB的延长线上运动时，若∠DAE＝45°，探究线段BD，DE，EC三条线段之间的数量关系． 解：DE2＝BD2＋EC2. 理由如下：如图，作∠FAD＝∠BAD，且截取AF＝AB，连接DF，FE. ∴△AFD≌△ABD(SAS)． ∴FD＝BD，∠AFD＝∠ABD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴AF＝AC，∠ABC＝∠C＝45°. ∵∠FAE＝∠FAD＋∠DAE＝∠FAD＋45°， ∠CAE＝∠BAC－∠BAE＝90°－(∠DAE－∠DAB) ＝45°＋∠DAB，∴∠FAE＝∠CAE. ∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE(SAS)． ∴FE＝CE，∠AFE＝∠ACE＝45°. ∵∠AFD＝∠ABD＝180°－∠ABC＝135°， ∴∠DFE＝∠AFD－∠AFE＝135°－45°＝90°. ∴在Rt△DFE中，DE2＝DF2＋EF2，即DE2＝BD2＋EC2. 【模型归纳】 模型特点 正方形中的半角模型：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G. 辅助线：将△ABE绕点A逆时针旋转90° 模型展示 ⁠ ⁠ 结论 (1)△AEF≌△AHF(SAS)；(2)EF＝BE＋DF，AG＝AD 模型特点 等腰直角三角形中的半角模型：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，且∠DAE＝45°. 辅助线：将△ABD绕点A逆时针旋转90° 模型展示 ⁠ ⁠ 结论 (1)△ADE≌△AFE(SAS)；(2)BD2＋CE2＝DE2 ⁠ ⁠ 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.求证：MN＝MB＋CN. 证明：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DBC＝30°. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°. ∴∠DBA＝∠DCA＝90°. 如图，延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF. 在△BDF和△CDN中， BF＝CN，DB＝DC，∠DBF＝∠DCN＝90°， ∴△BDF≌△CDN(SAS)． ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN. ∵∠MDN＝60°， ∴∠MDF＝∠BDM＋∠BDF＝∠BDM＋∠CDN＝60°. ∴∠MDN＝∠MDF. 又DM＝DM，∴△DMN≌△DMF(SAS)． ∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN. ⁠ ⁠如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 　6　 ⁠． 6　 【模型归纳】 模型特点 等边三角形含半角模型：如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF. 辅助线：将△DBE绕点D顺时针旋转120°(注：旋转时既可以是半角左边的三角形旋转到右边，也可以是半角右边的三角形旋转到左边，可灵活变换) 模型展示 ⁠