2024年广东省九年级中考数学一轮知识梳理复习课件 第24课 矩形与菱形

第六章 四边形 第24课 矩形与菱形 课程标准(2022年版) 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形 版本导航 人教八下P52－P58 北师九上P2－P19 一、矩形的性质与判定 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的一切性质． ②角：四个角都是直角． ③对角线：两条对角线相等． ④对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)矩形的判定： (4)矩形的面积：S矩形＝长×宽． 矩形的周长：C矩形＝2(长＋宽)． 1．(1)如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，则下列结论正确的是 　①②③④　 ⁠． ①AB∥CD，AD＝BC； ②∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB； ③OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD； ④S△OAB＝S△OBC＝S△OCD＝S△OAD． ①②③④　 (2)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB⊥BC．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB⊥BC，∴∠B＝90°. ∴四边形ABCD是矩形． 二、菱形的性质与判定 (1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的一切性质． ②边：四条边都相等． ③对角线：两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)菱形的判定： (4)菱形的面积：S菱形＝底×高＝两条对角线乘积的一半． 菱形的周长：C菱形＝4×边长． 2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，判断下列结论是否正确： ①AB∥CD，AC⊥BD( √ ) ②AB＝BC＝CD＝DA( √ ) ③OB＝OD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4( √ ) ④S菱形ABCD＝4S△OAB( √ ) √ √ √ √ 3.如图，在▱ABCD中，∠1＝∠2.求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB．∴∠2＝∠3. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3. ∴AD＝DC．∴▱ABCD是菱形． 4.(2022·广东)菱形的边长为5，则它的周长是 　20　 ⁠． 20　 ⁠ ⁠ (2023·北京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF. (1)求证：四边形AECF是矩形； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵BE＝DF，∴BC－BE＝AD－DF，即EC＝AF. ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形． (2)若AE＝BE，AB＝2，tan ∠ACB＝，求BC的长． (2)解：由(1)知四边形AECF是矩形． ∴∠AEC＝∠AEB＝90°. ∵AE＝BE，AB＝2， ∴△ABE是等腰直角三角形． ∴∠B＝45°.∴AE＝BE＝cos B·AB＝. ∵tan ∠ACB＝＝，∴＝.∴EC＝2. ∴BC＝BE＋EC＝＋2＝3. ⁠ ⁠ (2023·岳阳)如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． (1)你添加的条件是 　①或②　 ⁠；(填序号) ①或②　 (2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． (2)添加条件①.证明： 在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD． 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SAS)．∴∠A＝∠D． ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. ∴∠A＝∠D＝90°.∴▱ABCD为矩形． 添加条件②.证明： 在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD． 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(SSS)．∴∠A＝∠D． ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°. ∴∠A＝∠D＝90°. ∴▱ABCD为矩形． ⁠ ⁠ 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． (2)若AE⊥CD于点E，求AE的长． (2)解：由(1)，得△ABO是直角三角形． ∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5. ∴CD＝5. ∵S菱形ABCD＝CD